El helio tiene dos electrones y un núcleo de carga +2e. Situamos el origen de coordenadas en el núcleo, dando coordenadas ($x_1,y_1,z_1$), ($x_2,y_2,z_2$) a los electrones 1 y 2. De carga nuclear tomamos +Ze para incluir iones helioides, $H^-$, $Li+$, $Be^{2+}$...
Escribimos el Hamiltoniano del Helio. \begin{equation} \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_1^2-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_2^2-\frac{Ze^2}{r_1}-\frac{Ze^2}{r_2}+\frac{e^2}{r_{12}} \end{equation} Debido al término $\frac{e^2}{r_{12}}$ la ecuación de Schrödinger no es separable en ningún sistema de coordenadas y debemos utilizar métodos aproximados para resolverla.
Aplicamos la teoría de perturbaciones, eligiendo como sistema sin perturbar el átomo de dos electrones sin interacción interelectrónica, cuyo Hamiltoniano viene dado por: \begin{equation} \hat{H}^{0}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_1^2-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_2^2-\frac{Ze^2}{r_1}-\frac{Ze^2}{r_2} \end{equation} Dado que no existe interacción entre los electrones, estos se comportan como hidrogenoides. La función de onda resultante de resolver la ecuación, $\hat{H}^0\psi^{(0)}=E^{(0)}\psi^{0}$, es el resultado de multiplicar las funciones 1s del átomo hidrogenoide para cada electrón. \begin{equation} \psi^{(0)}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}e^{-Zr_1/a_0}\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}e^{-Zr_2/a_0} \end{equation} Esta función también podemos representarla por: $\psi=1s(1)1s(2)$, siendo $1s(1)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}e^{-Zr_1/a_0}$ y $1s(2)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}e^{-Zr_2/a_0}$.
Por otra parte, la energía del sistema sin perturbar se obtiene como suma de energías de ambos electrones hidrogenoides. \begin{equation} E^{(0)}=\frac{-Z^2e^2}{2a_0}+\frac{-Z^2e^2}{2a_0}=\frac{-Z^2e^2}{a_0}=-108.8\;eV \end{equation} Si tenemos en cuenta que el valor experimental de la energía del Helio es -79 eV, con esta primera aproximación tenemos un error del 38$\%$, como consecuencia de despreciar el término $\frac{e^2}{r_{12}}$.
Ahora pasamos a calcular la perturbación, $\hat{H'}=\hat{H}-\hat{H}^{0}=\frac{e^2}{r_{12}}$, que utilizaremos para obtener la corrección de primer orden en la energía. \begin{equation} E^{(1)}=\left\langle \psi^{\ast (0)}\left|\hat{H'}\right|\psi^{(0)}\right\rangle =\frac{5Ze^2}{8a_0}=34\;eV \end{equation} Esta corrección de primer orden nos da una energía para el estado fundamental del átomo de Helio de: \begin{equation} E=E^{(0)}+E^{(1)}=-108.8+34=-74\;eV \end{equation} El error cometido desciende al 5.3$\%$.
Aplicando correcciones de segundo y tercer orden se obtiene una energía muy cercana a la experimental. \begin{equation} E=E^{(0)}+E^{(1)}+E^{(2)}+E^{(3)}=108.8+34-4.3+0.1=79\;eV \end{equation}