Átomo hidrogenoide | Mecánica cuántica
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- Escrito por: Germán Fernández
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Los átomos que solo poseen un electrón se denominan hidrogenoides. Son átomos hidrogenoides: H, He+, Li2+, Be3+.
Los átomos hidrogenoides presentan una función de onda factorizable en una parte radial y un armónico esférico, que tiene la forma:
$\Psi(r,\theta,\varphi)=R_{n,l}(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi)$
donde n,l,m son los números cuánticos que hacen aceptable la función de onda.
La energía de un átomo hidrogenoide viene dada por la expresión:
$E_n=\frac{RhZ^2}{n^2}$
Como puede observarse, la energía depende exclusivamente del número cuántico principal, n.
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Una fuerza central es aquella que proviene de una función energía potencial con simetría esférica, es decir, una función que sólo depende de la distancia al origen de la partícula: $V=V(r)$ Así: $\left(\frac{\partial V}{\partial\theta}\right)_{r,\varphi}=0 ;$ y $\left(\frac{\partial V}{\partial\varphi}\right)_{r,\theta}=0 ;$ Consideremos ahora la mecánica-cuántica de una partícula simple sometida a una fuerza central: \begin{equation} \hat{H}=\hat{T}+\hat{V}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r) \end{equation} Expresemos $\nabla^2$ en coordenadas polares esféricas: \begin{equation} \nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\frac{1}{r^2}\cot\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{r^2 sen^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} \end{equation} Recordando la expresión del operador $\hat{l}^2$: \begin{equation}\label{ec3} \hat{l}^2=-\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\cot\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{sen^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right) \end{equation}
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Es un sistema de dos partículas separadas por una distancia d sin posibilidad de vibración $r=d$. La energía del rotor es cinética, por ello $V=0$. Estamos interesados solamente en la energía rotacional.
Al ser constante r podemos omitir el factor $R(r)$ en la función de onda, que vendrá dada por un armónico esférico. \begin{equation} \Psi =Y_{l,m}(\theta,\varphi) \end{equation} Planteamos la ecuación de Schrödinger: \begin{equation} \left[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{2\mu d^2}\hat{l}^2+V(r)\right]Y_{l,m}(\theta,\varphi)=EY_{l,m}(\theta,\varphi) \end{equation}
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Planteamos la ecuación de Schrödinger: \begin{equation}\label{ec1} \left[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2-\frac{Ze^2}{r}\right]\Psi=E\Psi \end{equation} Siendo $\Psi=R_{n,l}(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi)$
Sustituyendo la función de onda en la ecuación de Schödinger \begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2\mu}\left(R''+\frac{2}{r}R'\right)+\frac{l(l+1)\hbar^2}{2\mu r^2}R-\frac{Ze^2}{r}R=ER \label{ec2} \end{equation}
Simplificamos, multiplicando todos los términos de la ecuación (\ref{ec2}) por $-\frac{2\mu}{\hbar^2}$
\begin{equation} R''+\frac{2}{r}R'+\frac{2\mu ER}{\hbar^2}+\frac{2\mu Ze^2}{r\hbar^2}R-\frac{l(l+1)}{r^2}R=0 \end{equation}
Haciendo $a=\frac{\hbar^2}{\mu e^2}$ en la ecuación (\ref{ec2}) se obtiene: \begin{equation}\label{ec4} R''+\frac{2}{r}R'+\left[\frac{2E}{ae^2}+\frac{2Z}{ra}-\frac{l(l+1)}{r^2}\right]R=0 \end{equation}
Resolvemos la ecuación (\ref{ec4}) en dos casos:
- Si $r\rightarrow\infty$, el electrón se encuentra fuera de la atracción del nucleo. Sustituyendo $r$ por $\infty$ en la ecuación (\ref{ec4}) nos da: \begin{equation} R''+\frac{2E}{ae^2}R=0 \label{ec5} \end{equation} Proponemos una solución del tipo $R=e^{\alpha r}$, derivando: $R'=\alpha e^{\alpha r}$ y $R''=\alpha^2 e^{\alpha r}$. Sustituyendo estas derivadas en la ecuación (\ref{ec5}) nos da: \begin{equation} \alpha^2 e^{\alpha r}+\frac{2E}{ae^2}e^{\alpha r}=0 \label{ec6} \end{equation} Despejando $\alpha$ de la ecuación (\ref{ec6}). \begin{equation} \alpha=\sqrt{\frac{-2E}{ae^2}} \label{ec7} \end{equation}
- Ahora resolvemos la ecuación de Schödinger para valores de $r$ pequeños (electrón próximo al núcleo).