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  3. Átomo hidrogenoide | Mecánica cuántica

Átomo hidrogenoide | Mecánica cuántica

Átomo Hidrogenoide

Detalles
Escrito por: Germán Fernández
Categoría: Átomo hidrogenoide | Mecánica cuántica
Publicado: 07 Octubre 2012
Visto: 1398

Los átomos que solo poseen un electrón se denominan hidrogenoides.  Son átomos hidrogenoides: H, He+, Li2+, Be3+.

Los átomos hidrogenoides presentan una función de onda factorizable en una parte radial y un armónico esférico, que tiene la forma:

$\Psi(r,\theta,\varphi)=R_{n,l}(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi)$

donde n,l,m son los números cuánticos que hacen aceptable la función de onda.

La energía de un átomo hidrogenoide viene dada por la expresión:

$E_n=\frac{RhZ^2}{n^2}$

Como puede observarse, la energía depende exclusivamente del número cuántico principal, n.

La Ecuación de Schrödinger Radial

Detalles
Escrito por: Germán Fernández
Categoría: Átomo hidrogenoide | Mecánica cuántica
Publicado: 07 Octubre 2012
Visto: 1423

Una fuerza central es aquella que proviene de una función energía potencial con simetría esférica, es decir, una función que sólo depende de la distancia al origen de la partícula: $V=V(r)$ Así: $\left(\frac{\partial V}{\partial\theta}\right)_{r,\varphi}=0 ;$ y $\left(\frac{\partial V}{\partial\varphi}\right)_{r,\theta}=0 ;$ Consideremos ahora la mecánica-cuántica de una partícula simple sometida a una fuerza central: \begin{equation} \hat{H}=\hat{T}+\hat{V}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r) \end{equation} Expresemos $\nabla^2$ en coordenadas polares esféricas: \begin{equation} \nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\frac{1}{r^2}\cot\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{r^2 sen^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} \end{equation} Recordando la expresión del operador $\hat{l}^2$: \begin{equation}\label{ec3} \hat{l}^2=-\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\cot\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{sen^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right) \end{equation}

Lee más: La Ecuación de Schrödinger Radial

Rotor Rígido De Dos Partículas

Detalles
Escrito por: Germán Fernández
Categoría: Átomo hidrogenoide | Mecánica cuántica
Publicado: 07 Octubre 2012
Visto: 1419

Es un sistema de dos partículas separadas por una distancia d sin posibilidad de vibración $r=d$. La energía del rotor es cinética, por ello $V=0$. Estamos interesados solamente en la energía rotacional.

Al ser constante r podemos omitir el factor $R(r)$ en la función de onda, que vendrá dada por un armónico esférico. \begin{equation} \Psi =Y_{l,m}(\theta,\varphi) \end{equation} Planteamos la ecuación de Schrödinger: \begin{equation} \left[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{2\mu d^2}\hat{l}^2+V(r)\right]Y_{l,m}(\theta,\varphi)=EY_{l,m}(\theta,\varphi) \end{equation}

Lee más: Rotor Rígido De Dos Partículas

El Átomo de Hidrógeno

Detalles
Escrito por: Germán Fernández
Categoría: Átomo hidrogenoide | Mecánica cuántica
Publicado: 07 Octubre 2012
Visto: 1442

Planteamos la ecuación de Schrödinger: \begin{equation}\label{ec1} \left[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2-\frac{Ze^2}{r}\right]\Psi=E\Psi \end{equation} Siendo $\Psi=R_{n,l}(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi)$

Sustituyendo la función de onda en la ecuación de Schödinger \begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2\mu}\left(R''+\frac{2}{r}R'\right)+\frac{l(l+1)\hbar^2}{2\mu r^2}R-\frac{Ze^2}{r}R=ER \label{ec2} \end{equation}

Simplificamos, multiplicando todos los términos de la ecuación (\ref{ec2}) por $-\frac{2\mu}{\hbar^2}$

\begin{equation} R''+\frac{2}{r}R'+\frac{2\mu ER}{\hbar^2}+\frac{2\mu Ze^2}{r\hbar^2}R-\frac{l(l+1)}{r^2}R=0 \end{equation}

Haciendo $a=\frac{\hbar^2}{\mu e^2}$ en la ecuación (\ref{ec2}) se obtiene: \begin{equation}\label{ec4} R''+\frac{2}{r}R'+\left[\frac{2E}{ae^2}+\frac{2Z}{ra}-\frac{l(l+1)}{r^2}\right]R=0 \end{equation}

Resolvemos la ecuación (\ref{ec4}) en dos casos:

  • Si $r\rightarrow\infty$, el electrón se encuentra fuera de la atracción del nucleo. Sustituyendo $r$ por $\infty$ en la ecuación (\ref{ec4}) nos da: \begin{equation} R''+\frac{2E}{ae^2}R=0 \label{ec5} \end{equation} Proponemos una solución del tipo $R=e^{\alpha r}$, derivando: $R'=\alpha e^{\alpha r}$ y $R''=\alpha^2 e^{\alpha r}$. Sustituyendo estas derivadas en la ecuación (\ref{ec5}) nos da: \begin{equation} \alpha^2 e^{\alpha r}+\frac{2E}{ae^2}e^{\alpha r}=0 \label{ec6} \end{equation} Despejando $\alpha$ de la ecuación (\ref{ec6}). \begin{equation} \alpha=\sqrt{\frac{-2E}{ae^2}} \label{ec7} \end{equation}
  • Ahora resolvemos la ecuación de Schödinger para valores de $r$ pequeños (electrón próximo al núcleo).

Lee más: El Átomo de Hidrógeno

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