Planteamos la ecuación de Schrödinger: \begin{equation}\label{ec1} \left[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2-\frac{Ze^2}{r}\right]\Psi=E\Psi \end{equation} Siendo $\Psi=R_{n,l}(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi)$
Sustituyendo la función de onda en la ecuación de Schödinger \begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2\mu}\left(R''+\frac{2}{r}R'\right)+\frac{l(l+1)\hbar^2}{2\mu r^2}R-\frac{Ze^2}{r}R=ER \label{ec2} \end{equation}
Simplificamos, multiplicando todos los términos de la ecuación (\ref{ec2}) por $-\frac{2\mu}{\hbar^2}$
\begin{equation} R''+\frac{2}{r}R'+\frac{2\mu ER}{\hbar^2}+\frac{2\mu Ze^2}{r\hbar^2}R-\frac{l(l+1)}{r^2}R=0 \end{equation}
Haciendo $a=\frac{\hbar^2}{\mu e^2}$ en la ecuación (\ref{ec2}) se obtiene: \begin{equation}\label{ec4} R''+\frac{2}{r}R'+\left[\frac{2E}{ae^2}+\frac{2Z}{ra}-\frac{l(l+1)}{r^2}\right]R=0 \end{equation}
Resolvemos la ecuación (\ref{ec4}) en dos casos:
- Si $r\rightarrow\infty$, el electrón se encuentra fuera de la atracción del nucleo. Sustituyendo $r$ por $\infty$ en la ecuación (\ref{ec4}) nos da: \begin{equation} R''+\frac{2E}{ae^2}R=0 \label{ec5} \end{equation} Proponemos una solución del tipo $R=e^{\alpha r}$, derivando: $R'=\alpha e^{\alpha r}$ y $R''=\alpha^2 e^{\alpha r}$. Sustituyendo estas derivadas en la ecuación (\ref{ec5}) nos da: \begin{equation} \alpha^2 e^{\alpha r}+\frac{2E}{ae^2}e^{\alpha r}=0 \label{ec6} \end{equation} Despejando $\alpha$ de la ecuación (\ref{ec6}). \begin{equation} \alpha=\sqrt{\frac{-2E}{ae^2}} \label{ec7} \end{equation}
- Ahora resolvemos la ecuación de Schödinger para valores de $r$ pequeños (electrón próximo al núcleo).
En esta situación la ecuación (\ref{ec4}) tiene la siguiente solución: \begin{equation}\label{ec8} R=r^s e^{-\alpha r}M(r) \end{equation} Siendo: \begin{equation}\label{ec9} M(r)=\sum_{j=0}^{\infty}{b_j}r^j \end{equation} Derivando la función $R$ respecto a la variable $r$ nos da: \begin{equation}\label{ec10} R'=sr^{s-1}e^{-\alpha r}M(r)+r^s(-\alpha)e^{-\alpha r}M(r)+r^s e^{-\alpha r}M'(r) \end{equation}
Agrupando términos en (\ref{ec10}): \begin{equation}\label{ec11} R'=\left[(s-\alpha r)r^{s-1} M(r)+r^s M'(r)\right]e^{-\alpha r} \end{equation} Derivando $R'$ obtenemos $R''$ \begin{eqnarray}\label{ec12} R''=-\alpha r^{s-1} e^{-\alpha r} M(r)+(s-\alpha r)(s-1)r^{s-2}e^{-\alpha r} M(r)+(s-\alpha r)r^{s-1}(-\alpha)e^{-\alpha r}M(r) \nonumber\\ +(s-\alpha r)r^{s-1}e^{-\alpha r}M'(r)+sr^{s-1}e^{-\alpha r} M'(r)+r^s (-\alpha)e^{-\alpha r} M'(r) +r^s e^{-\alpha r} M''(r) \end{eqnarray} Sacando factor común a $e^{-\alpha r}$ y agrupando por derivadas de $M(r)$: \begin{equation}\label{ec13} R''=\left[r^s M''(r)+2(s-\alpha r)r^{s-1} M'(r)+(\alpha^2 r^2-2\alpha{rs}+s^2-s)r^{s-2} M(r)\right]e^{-\alpha r} \end{equation} Sustituyendo en la ecuación de Schödinger radial (\ref{ec4}) las ecuaciones (\ref{ec7}), (\ref{ec11}) y (\ref{ec13}) \begin{eqnarray}\label{ec14} \left[r^s M''(r)+2(s-\alpha r)r^{s-1} M'(r)+(\alpha^2 r^2-2\alpha{rs}+s^2-s)r^{s-2} M(r)\right]e^{-\alpha r} \nonumber\\ +\frac{2}{r}\left[(s-\alpha r)r^{s-1} M(r)+r^s M'(r)\right]e^{-\alpha r}+\left(\frac{2Z}{ar}-\alpha^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\right){r^s}e^{-\alpha r} M(r)=0 \end{eqnarray} Dividiendo la ecuación (\ref{ec14}) por $r^{s-2}$ \begin{eqnarray}\label{ec15} r^2 M''(r)+2(sr-\alpha r^2+r)M'(r)+(\cancel{\alpha^2 r^2}-2\alpha rs+s^2-\cancel{s}+\frac{2Zr}{a}-\cancel{\alpha^2 r^2}-l(l+1)+\cancel{2}s \nonumber\\ -2\alpha r)M(r)=0 \end{eqnarray} Simplificando: \begin{equation}\label{ec16} r^2 M''(r)+2(sr-\alpha r^2 +r)M'(r)+\left[s(s+1)-2\alpha r(s+1)+\frac{2Zr}{a}-l(l+1)\right]M(r)=0 \end{equation} La ecuación (\ref{ec16}) debe cumplirse para $r=0$. \begin{equation}\label{ec17} s(s+1)-l(l+1)=0 \end{equation} La ecuación (\ref{ec17}) nos indica que $s=l$ Sustituyendo $s$ por $l$ en la ecuación (\ref{ec16}) se obtiene: \begin{equation}\label{ec18} r^2 M''(r)+2(lr-\alpha r^2+r)M'(r)+\left[\cancel{l(l+1)}-2\alpha r(l+1)+\frac{2Zr}{a}-\cancel{l(l+1)}\right]M(r)=0 \end{equation} Dividiendo todos los términos por $r$ en la ecuación (\ref{ec18}) se obtiene: \begin{equation}\label{ec19} rM''(r)+2(l+1-\alpha r)M'(r)+\left[\frac{2Z}{a}-2\alpha(l+1)\right]M(r)=0 \end{equation} Ahora pasamos a calcular las derivadas del polinomio $M(r)$ para sustituirlas en la ecuación anterior. \begin{eqnarray} M(r) &=& \sum_{j=0}^{\infty}b_{j}r^j \\ M'(r) &=& \sum_{j=1}^{\infty}b_{j}jr^{j-1}=\sum_{j=0}^{\infty}b_{j+1}(j+1)r^j \\ M''(r) &=& \sum_{j=2}^{\infty}b_{j+1}j(j+1)r^{j-1}=\sum_{j=0}^{\infty}b_{j+1}j(j+1)r^{j-1} \label{ec22} \end{eqnarray} Sustituyendo en la ecuación (\ref{ec19}): \begin{equation}\label{ec23} r\sum_{j=0}^{\infty}b_{j+1}j(j+1)r^{j-1}+2(l+1)\sum_{j=0}^{\infty}b_{j+1}(j+1)r^j-2\alpha r\sum_{j=0}^{\infty}b_{j}jr^{j-1}+\left(\frac{2Z}{a}-2\alpha(l+1)\right)\sum_{j=0}^{\infty}b_{j}r^{j}=0 \end{equation} Agrupando términos en (\ref{ec23}) \begin{equation}\label{24} \sum_{j=0}^{\infty}\left[b_{j+1}j(j+1)+2(l+1)(j+1)b_{j+1}-2\alpha jb_{j}+\left(\frac{2Z}{a}-2\alpha(l+1)\right)b_{j}\right]r^j=0 \end{equation} Igualando a cero el corchete y despejando $b_{j+1}$ se obtiene la ley de recurrencia \begin{equation}\label{ec25} b_{j+1}=\frac{2\alpha j-2Z/a+2\alpha(l+1)}{(j+1)(j+2l+2)}b_{j} \end{equation} Para que $M(r)$ sea válida en mecánica cuántica es necesario truncar la serie en el término $j=k$, de modo que $b_k$ es el último término no nulo del desarrollo y $b_{k+1}=0$.
Haciendo $j=k$ en la ley de recurrencia se obtiene: \begin{equation}\label{ec26} b_{k+1}=\frac{2\alpha k-2Z/a+2\alpha(l+1)}{(k+1)(k+2l+2)}b_{k} \end{equation} Para que esta ecuación se cumpla debe anularse el numerador \begin{equation}\label{ec27} 2\alpha k-2Z/a+2\alpha(l+1)=0 \end{equation} Sacando factor común a $2\alpha$: \begin{equation}\label{ec28} 2\alpha(l+k+1)=\frac{2Z}{a} \end{equation} Llamando $n=l+k+1$ nos queda: \begin{equation}\label{ec29} \alpha n=\frac{Z}{a} \end{equation} Sustituyendo $\alpha$ por la (\ref{ec7}) \begin{eqnarray} \sqrt{\frac{-2E}{ae^2}} &=& \frac{Z}{na} \frac{-2E}{ae^2} &=& \frac{Z^2}{a^2 n^2} \\ E &=& -\frac{Z^2 e^2}{2an^2} \label{ec32} \end{eqnarray} Sustituyendo $a$ por su valor, se obtiene la siguiente expresión para la energía del átomo hidrogenoide. \begin{equation}\label{ec33} E=-\frac{Z^2 \mu e^4}{2\hbar^2 n^2} \end{equation} Apartir de la ecuación (\ref{ec8}) se obtiene la parte radial de la función de onda \begin{equation}\label{ec34} R_{n,l}(r)=r^le^{Zr/na}\sum_{j=0}^{n-l-1}b_{j}r^j \end{equation}