Planteamos la ecuación de Schrödinger:
El oscilador armónico está sometido a un potencial del tipo: \(V(x)=\frac{1}{2}kx^2\)
Despejando la derivada de mayor grado, la ecuación (2) puede escribirse:
Simplificamos la ecuación (3) definiendo las siguientes magnitudes:
Sustituyendo (4) y (5) en (3):
La resolución de la ecuación (6) requiere el siguiente cambio de variable:
Aplicando la regla de la cadena:
Despejando x de (7) y derivando respecto a \(\xi\) obtenemos:
Sustituyendo (11) y (12) en (9) y despejando \(\frac{d^2\Psi}{dx^2}\):
Sustituyendo (10) y (13) en (6):
Dividiendo (14) por \(\beta\):
Sacando factor común a la función de onda se obtiene la ecuación de Hermite - Gauss, conocida en Matemáticas incluso antes del nacimiento de la mecánica cuántica.
