La energía vibracional se obtiene resolviendo la ecuación de Schrödinger vibracional
\begin{equation}\label{6} \left[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2}{dR^2}+E_e(R)\right]\psi_{vib}(R)=(E_{vib}+E_{ele})\psi_{vib}(R) \end{equation}
El desarrollo en series de Taylor de la energía potencial $E_e(R)$ en torno a la distancia de equilibrio $R_e$ nos da:
\begin{equation}\label{71} E_e(R)\approx E_e(R_e)+\frac{1}{2}\frac{d^2E_e(R_e)}{dR^2}(R-R_e)^2+..... \end{equation}
La cantidad $E_e(R_e)=E_{el}$ es constante para un determinado estado electrónico y se denomina energía electrónica de equilibrio.
Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger vibracional y agrupando términos, obtenemos:
\begin{equation}\label{8} \left[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2}{dR^2}+\cancel{E_e(R_e)}+\frac{1}{2}\frac{d^2E_e(R_e)}{dR^2}x^2\right]\psi_{vib}=(E_{vib}+\cancel{E_{el}})\psi_{vib} \end{equation}
Haciendo, $x=R-R_e$ y $dx=dR$, se obtiene:
\begin{equation}\label{9} \left[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}\frac{d^2E_e(R_e)}{dx^2}x^2\right]\psi_{vib}=E_{vib}\psi_{vib} \end{equation}
Donde, $k_e=\frac{d^2E_e(R_e)}{dx^2}$.
\begin{equation} \left[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}kx^2\right]\psi_{vib}=E_{vib}\psi_{vib} \end{equation}
Esta última ecuación tiene la forma de la ecuación de Schrödinger para un osciladora armónico y su solución nos da:
\begin{equation}\label{91} E_{vib}=(v+\frac{1}{2})h\nu_e \end{equation}
Donde $v=0,1,2,3....$ es en número cuantico vibracional y $\nu_e$ la frecuencia vibracional de equilibrio.
\begin{equation}\label{10} \nu_e=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_e}{\mu}} \end{equation}
La constante de fuerza del oscilador corresponde a la derivada segunda de $E_e$ con $R=R_e$.
\begin{equation}\label{11} k=\left(\frac{\partial^2E_e}{\partial R^2}\right)_{R=R_e} \end{equation}
La energía interna de la molécula diatómica viene dada por: $E_{int}=E_{rot}+E_{vib}+E_{ele}$
\begin{equation}\label{12} E_{int}=B_e h J(J+1)+(v+\frac{1}{2})h\nu_e+E_{ele} \end{equation}