Sean $f_1, f_2, ......., f_n$ funciones linealmente independientes. Construimos la función de prueba $\varphi$ combiando linealmente la $f_i$ funciones. \begin{equation}\label{ec5} \varphi=c_1 f_1 + c_2 f_2 +........+c_n f_n =\sum_{j}c_i f_i \end{equation} Donde $\varphi$ es la función variacional de prueba, $c_i$ son parámetros variacionales que deben hacer mínima la integral variacional. $c_i$ y $f_i$ son reales. Planteamos la integral variacional: \begin{equation}\label{ecu6} W=\frac{\int\varphi^{\ast}\hat{H}\varphi dq}{\int\varphi^{\ast}\varphi dq} \end{equation}

Calculamos por separado numerador y denominador de la integral variacional \begin{equation}\label{ecu7} \int\varphi^{\ast}\varphi dq=\int\sum_{i}c_{i}^{\ast}f_{i}^{\ast}\sum_{j}c_j f_j dq=\sum_{i}c_{i}^{\ast}\sum_{j}c_{j}\int f_{i}^{\ast}f_j dq=\sum_{i}\sum_{j}c_i c_j S_{ij} \end{equation} Donde $S_{ij}$ es la integral de solapamiento. \begin{equation}\label{ecu8} \int\varphi^{\ast}\hat{H}\varphi dq=\int\sum_{i}c_{i}^{\ast}f_{i}^{\ast}\hat{H}\sum_{j}c_{j}f_{j}=\sum_{i}\sum_{j}c_{i}^{\ast}c_j\int f_{i}^{\ast}\hat{H}f_j dq=\sum_{i}\sum_{j}c_{i}^{\ast}c_j H_{ij} \end{equation} Sustituyendo las ecuaciones (\ref{ecu7}) y (\ref{ecu8}) en (\ref{ecu6}): \begin{equation}\label{ecu9} W=\frac{\sum_{i}\sum_{j}c_{i}c_{j}H_{ij}}{\sum_{i}\sum_{j}c_{i}c_{j}S_{ij}} \end{equation} Vamos a minimizar W, para aproximarnos tanto como sea posible a $E_0$. Para ello, derivamos $W$ respecto a los coeficientes $c_k$ de la combinación lineal, e igualamos a cero las derivadas. $\frac{\partial W}{\partial c_k}=0$ con $k=1,2.....n$, da como resultado: $\sum_{i=1}^{n}c_{i}\left(H_{ki}-WS_{ki}\right)=0$ Para una función de prueba con dos funciones base $\varphi=c_1f_1+c_2f_2$, obtenemos el siguiente sistema: \begin{equation} c_1(H_{11}-WS_{11})+c_2(H_{12}-WS_{12})=0\\ c_1(H_{21}-WS_{21})+c_2(H_{22}-WS_{22})=0 \end{equation} Para que el sistema tenga solución única (compatible determinado), el determinante de los coeficientes debe anularse. \begin{equation} \left| \begin{array}{cc} H_{11}-WS_{11} & H_{12}-WS_{12}\\ H_{21}-WS_{21} & H_{22}-WS_{22} \end{array} \right|=0 \end{equation} La resolución del determinante nos da los valores propios de $\varphi$, es decir, las energías, W. A partir de las energías se obtienen los coeficientes variacionales $c_1$ y $c_2$.

We use cookies

Usamos cookies en nuestro sitio web. Algunas de ellas son esenciales para el funcionamiento del sitio, mientras que otras nos ayudan a mejorar el sitio web y también la experiencia del usuario (cookies de rastreo). Puedes decidir por ti mismo si quieres permitir el uso de las cookies. Ten en cuenta que si las rechazas, puede que no puedas usar todas las funcionalidades del sitio web.