Canal YouTube | Química General

¡Suscríbete al nuevo canal de Química General! Durante este verano completaré todos los temas que se imparten en primero de carrera de las diferentes universidades. Cada tema en una lista de reproducción con el contenido ordenado

Problemas del Oscilador Armónico

Solapas principales

Enviado por Germán Fernández en Jue, 10/04/2012 - 18:31
  1. Para el estado fundamental del oscilador armónico unidimensional, encontrar el valor promedio de las energías cinética y potencial. Comprobar que <T>=<V> en este caso. Hállense la posición más probable de la partícula para dicha función de onda y comprobar que se cumple el principio de incertidumbre. Datos:$\int_{0}^{\infty}x^2 e^{-\alpha x^2}dx=\pi^{1/2}/4\alpha^{3/2}$

     

  2. Haciendo uso de la fórmula de Rodrigues, genera los polinomios con $v=0,1,2,3....$

     

  3. El oscilador armónico tridimensional tiene la función de energía potencial $V(x,yz)=k_x \frac{x^2}{2} + k_y \frac{y^2}{2} + k_z \frac{z^2}{2}$, donde $k_x$, $k_y$ y $k_z$ son tres constantes de fuerza. Haciendo uso del método de separación de variables, encontrar las funciones propias y los valores propios de la energía de dicho oscilador.

     

  4. Encontrar las funciones propias y valores propios del hamiltoniano $H$ para un sistema unidimensional con $V(x)=\infty$ para $x<0$ y $V(x)=\frac{1}{2}kx^{2}$ para $x\geq 0$.

     

  5. Demostar explícitamente que los polinomios de Hermite con $v=2,3,4$ satisfacen la relación de recurrencia: $\xi H_{v-1} = (v-1)H_{v-2} + \frac{1}{2}H_{v}$.

     

  6. Demostrar la siguiente relación de recurrencia entre polinomios de Hermite: $H_v = 2\xi H_{v-1}-H'_{v-1}$

     

  7. El operador inversión $\hat{i}$ convierte cada punto del espacio en su opuesto: $\hat{i}f(x,y,z)=f(-x,-y,-z)$, donde $f$ es una función cualquiera. Determina los valores propios de este operador y establece las características de sus funciones propias. En el caso de una caja cúbica o del oscilador armónico isótropo 3D, comprueba que el operador de Hamilton conmuta con el operador inversión, y que las funciones de onda estacionarias y separables de ambos sistemas también son funciones propias de la inversión.

     

  8. Considera un oscilador armónico bidimensional isótropo cuyo potencial es $V(x,y)=\frac{1}{2}k\left(x^2+y^2\right)$.  Escribe la ecuación de Schrödinger de este sistema, y las expresiones generales de las funciones de estado y energías estacionarias que se obtienen al solucionarla utilizando la técnica de separación de variables. La solución del oscilador armónico monodimensional es $\Psi_{v_{x}}=N_{v_{x}}H_{v_{x}}e^{-\xi^2_x/2}$, $E_{v_{x}}=\left(v_{x}+\frac{1}{2}\right)h\nu_{x}$  El cumplimiento del teorema de virial para este sistema nos dice que $\left\langle \hat{T}\right\rangle=\left\langle \hat{V}\right\rangle$. Utiliza este resultado para calcular $\left\langle x^2+y^2\right\rangle$. Para el estado fundamental del oscilador armónico bidimensional, comprueba que las expresiones para $\left\langle x^2\right\rangle$ y $\left\langle y^2\right\rangle$ son equivalentes. Calcula ahora $\left\langle x^2\right\rangle$ utilizando también el resultado del apartado anterior.

     

  9. Empleando criterios de paridad, calcula $\left\langle xy\right\rangle$ para cualquier estado del oscilador armónico bidimensional.Considera la función de onda $\Psi=\Psi_{1}-2\Psi_{2}+\Psi_{3}$, donde $\Psi_{1}$, $\Psi_{2}$,$\Psi_{3}$ son funciones propias normalizadas del hamiltoniano del oscilador armónico monodimensional con v=1,2,3 respectivamente. a) Normaliza $\Psi$. b) Encuentra los valores que se pueden obtener al medir la energía de un oscilador armónico monodimensional que se encuentre en el estado descrito por $\Psi$. c) Encuentra también sus correspondientes probabilidades. d) Una partícula está sometida al potencial $V(x)=ax^2-bx^3$. ¿Pueden ser propias del operador paridad, $\hat{\Pi}$, las funciones propias del hamiltoniano de este sistema?. Justifica la respuesta.

     

  10. Para el oscilador armónico unidimensional las soluciones de la ecuación de Schödinger son: $E_{v}=\hbar\omega\left(v+1/2\right)$ y $\Psi_{v}(x)=N_{v}H_{v}e^{-\beta{x}^2/2}$.  El oscilador armónico circular es un sistema de una partícula que tiene una función de energía dada por $V(x,y)=\frac{1}{2}K\left(x^2+y^2\right)$. Para este sistema:  a) Deducir la expresión general de la energía. b) Calcula la degeneración de los niveles de energía Teniendo en cuenta que $H_{0}=1$, hallar el valor esperado de $x^2y^3$ en el estado fundamental del oscilador armónico circular.

     

  11.  La regla de recurrencia para los coeficientes de los polinomios de Hermite es: $$a_{i+2}=\frac{2i-\left(\frac{\alpha}{\beta}-1\right)}{\left(i+2\right)\left(i+1\right)}a_{i}$$ Siendo $\alpha=\frac{2mE}{\hbar^2}$, $\beta=\left(\frac{mk}{\hbar^2}\right)^{1/2}$. Si $a_{5}$ es el coeficiente no nulo del mayor exponente, escribe una expresión para E en términos de $\omega$ y $\hbar$. Escribe la ecuación de Schödinger independiente del tiempo para un oscilador armónico bidimensional con $k_{x}=k_{y}$. Escribe la expresión de $\Psi(x,y)$ y de E utilizando la solución del oscilador armónico monodimensional.