Principios y postulados | Mecánica Cuántica
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- Escrito por: Germán Fernández
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A comienzo del siglo XX los físicos no podían describir correctamente el comportamiento de partículas muy pequeñas como electrones, núcleos de átomos y moléculas. El comportamiento de dichas partículas se describe correctamente con un conjunto de leyes físicas que denominamos Mecánica Cuántica.
A principios de siglo, un reducido número de físicos, entre los que podemos citar Bohr, Einstein, Born, Dirac, Schrödinger, Heisember, De Broglie, Jordan, Pauli, contribuyeron a formalizar matemáticamente la Teoría que quedó prácticamente completa a finales de la década de 1920.
El estudio de la Mecánica Cuántica se puede realizar siguiendo dos caminos diferentes. La primera vía consiste en analizar aquellos problemas físicos que la Mecánica Clásica es incapaz de resolver y que, sin embargo, fueron interpretados correctamente por la Mecánica Cuántica. Podemos citar:
- La Ley de radiación espectral del cuerpo negro
- El efecto fotoeléctrico.
- Las capacidades caloríficas de los sólidos.
- El espectro atómico del átomo de hidrógeno.
- El efecto Compton
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Postulado I.- El estado de un sistema físico está descrito por una función \(\Psi(q,t)\) de las coordenadas (q) y del tiempo (t). Esta función, llamada función de estado o función de onda, contiene toda la información que es posible determinar acerca del sistema. Además, postulamos que \(\Psi(q,t)\) toma valores simples, es finita, continua, con derivadas continuas y de cuadrado integrable.
Postulado II.- La evolución en el tiempo del estado de un sistema está dada por la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:
\begin{equation}i\hbar\frac{\partial\Psi(q,t)}{\partial t}=\hat{H}\Psi(q,t)\end{equation}
Donde \(\hbar=\frac{h}{2\pi}\), siendo h una constante universal conocida como constante de Planck, y donde \(\hat{H}\) es el operador de Hamilton (o Hamiltoniano) del sistema.
Para una única partícula moviéndose a lo largo del eje x, \(\hat{H}\) viene dado por:
\begin{equation}\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial}{\partial x}+V(x,t)\end{equation}
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Comenzaremos por introducir el Postulado I de la Mecánica Cuántica. No obstante, cabe indicar que el número de postulados y el orden de los mismos no son únicos, sino que existen diferentes conjuntos de ellos que son físicamente equivalentes.
Postulado I.- El estado de un sistema físico está descrito por una función \(\Psi (q,t)\) de las coordenadas \((q)\) y del tiempo \(t\). Esta función, llamada función de estado o función de onda, contiene toda la información que es posible determinar acerca del sistema. Además, postulamos que \(\Psi (q,t)\) toma valores simples, es finita, continua, con derivadas continuas y de cuadrado integrable.
La función de onda \(\Psi (q,t)\) debe ser concebida como una función matemática que nos da información acerca del sistema y a partir de la cuál podemos calcular propiedades del mismo.
¿Qué información proporciona la función de onda?. Max Born de la Escuela de Copenhague indicó que el módulo al cuadrado de la función de onda representa la densidad de probabilidad de encontrar al sistema en el estado con coordenada \(q\).
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Cuando el hamiltoniano es independiente del tiempo, la función de estado puede escribirse como un producto de una función del tiempo por una función de la posición.
Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:
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Un operador actúa sobre una función transformándola en otra. Pongamos como ejemplo el operador derivada que representamos por \(\hat{D}\), se emplea un circunflejo para indicar que se trata de un operador, aunque se puede prescindir del mismo siempre que sea evidente el carácter de tal.
El operador actúa sobre la función f(x) y devuelve su derivada. Otro operador muy conocido es la integral, operación inversa a la derivada. Pero también existen otros operadores como pueden ser:
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Postulado III.- A cada observable físico en Mecánica Cuántica le corresponde un operador lineal y hermítico. Para encontrar dicho operador, escribimos la expresión mecanoclásica del observable en términos de las coordenadas cartesianas y de los momentos lineales correspondientes. A continuación, reemplazamos cada coordenada x por el operador $\hat{x}$ (multiplica por x) y cada momento lineal \(p_x\) por el operador \(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\).
Veamos como funciona este postulado en la construcción de los operadores más importantes de la Mecánica Cuántica.
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Se llaman ecuaciones de valores propios a las que tienen la siguiente forma:
Es simple demostrar que si una función f(x) es propia de un operador \(\hat{A}\) con valor propio k, todos las funciones de la forma cf(x), siendo c una constante, son propias del operador \(\hat{A}\) con valor propio k.