Canal YouTube | Química General

¡Suscríbete al nuevo canal de Química General! Durante este verano completaré todos los temas que se imparten en primero de carrera de las diferentes universidades. Cada tema en una lista de reproducción con el contenido ordenado

Oscilador armónico unidimensional (parte 1)

Solapas principales

Planteamos la ecuación de Schödinger:

El oscilador armónico está sometido a un potencial del tipo: \(V(x)=\frac{1}{2}kx^2\)

Despejando la derivada de mayor grado, la ecuación (2) puede escribirse:

Simplificamos la ecuación (3) definiendo las siguientes magnitudes:

Sustituyendo (4) y (5) en (3):

La resolución de la ecuación (6) requiere el siguiente cambio de variable:

Aplicando la regla de la cadena:

Despejando x de (7) y derivando respecto a \(\xi\) obtenemos:

Sustituyendo (11) y (12) en (9) y despejando \(\frac{d^2\Psi}{dx^2}\):

Sustituyendo (10) y (13) en (6):

Dividiendo (14) por \(\beta\):

 

Sacando factor común a la función de onda se obtiene la ecuación de Hermite - Gauss, conocida en Matemáticas incluso antes del nacimiento de la mecánica cuántica.