Momento angular | Mecánica cuántica
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- Escrito por: Germán Fernández
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Sea una partícula en movimiento de masa m, cuyo vector posición es $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$. Sea el momentolineal de la partícula $\vec{p}=p_{x}\vec{i}+p_{y}\vec{j}+p_{z}\vec{k}$
El momento angular de la partícula, $\vec{l}$ se define: \begin{equation} \vec{l}=\vec{r}\times\vec{p}=\left(yp_{z}-zp_{y}\right)\vec{i}-\left(xp_{z}-zp_{x}\right)\vec{j}+\left(xp_{y}-yp_{x}\right)\vec{k} \end{equation} \begin{eqnarray} l_{x} &=& yp_z - zp_y\\ l_{y} &=& zp_x - zp_z\\ l_{z} &=& xp_y - yp_x \end{eqnarray}
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En mecánica cuántica existen dos tipos de momento angular:
- Momento angular orbital, se refiere al movimiento de la partícula en el espacio y es análogo al mecano-clásico.
- Momento angular de spin, es una propiedad intrínsica de las partículas microscópicas y no tiene análogo clásico.
Vamos a construir los operadores mecano-clásicos del momento angular.
Partimos de la expresión clásica $l_x = yp_z - zp_y$ y sustituimos coordenadas cartesianas y momentos lineales por los operadores cuánticos correspondientes: \begin{equation} \hat{l}_x = \hat{y}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial z}\right)-\hat{z}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial y}\right)=-i\hbar\left(\hat{y}\frac{\partial}{\partial z}-\hat{z}\frac{\partial}{\partial y}\right) \end{equation} Análogamente: \begin{equation} \hat{l}_y = -i\hbar\left(\hat{z}\frac{\partial}{\partial x}-\hat{x}\frac{\partial}{\partial z}\right) \end{equation} \begin{equation} \hat{l}_z = -i\hbar\left(\hat{x}\frac{\partial}{\partial y}-\hat{y}\frac{\partial}{\partial x}\right) \end{equation}
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A continuación, calcularemos las relaciones de conmutación entre los distintos operadores del momento angular, para determinar cuales de ellas se pueden conocer simultáneamente. \begin{equation} [\hat{l}_x , \hat{l}_y]=\hat{l}_x \hat{l}_y - \hat{l}_y \hat{l}_x \end{equation} Para que no resulten expresiones demasiado largas calculemos los dos términos por separado \begin{equation} \hat{l}_x\hat{l}_y f=\left[-i\hbar\left(y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y}\right)\right]\left[-i\hbar\left(z\frac{\partial f}{\partial x}-x\frac{\partial f}{\partial z}\right)\right]= \end{equation} \begin{equation} =-\hbar^2\left(y\frac{\partial f}{\partial x}+yz\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x}-yz\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}-z^2\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}+zx\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z}\right) \end{equation}
Lee más: Reglas de Conmutación en Operadores del Momento Angular
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La simetría del átomo nos obliga a trabajar en coordenadas polares esféricas. En coordenadas cartesianas las componentes del momento angular vienen dadas por las siguientes ecuaciones: \begin{eqnarray} \hat{l}_x &=& -i\hbar\left[\hat{y}\frac{\partial}{\partial z}-\hat{z}\frac{\partial}{\partial y}\right]\\ \hat{l}_y &=& -i\hbar\left[\hat{z}\frac{\partial}{\partial x}-\hat{x}\frac{\partial}{\partial z}\right]\\ \hat{l}_z &=& -i\hbar\left[\hat{x}\frac{\partial}{\partial y}-\hat{y}\frac{\partial}{\partial x}\right]\label{1} \end{eqnarray}
Relaciones entre coordenadas cartesianas y esféricas:
\begin{eqnarray} x &=& rsen\theta\cos\varphi \\ y &=& rsen\theta sen\varphi \\ z &=& r\cos\theta \\ r^2 &=& x^2+y^2+z^2 \\ \cos\theta &=& \frac{z}{r}=\frac{z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{1/2}}\\ \tan\varphi &=& \frac{y}{x} \label{2} \end{eqnarray}
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Las funciones propias de los operadores momento angular son los armónicos esféricos $Y=Y(\theta , \varphi)$. La ecuación de valores propios viene dada por: \begin{equation} \hat{l}_z Y(\theta , \varphi)=bY(\theta , \varphi) \end{equation} Donde b es valor propio de $\hat{l}_z$. Sustituyendo $\hat{l}_z = -i\hbar\frac{\partial}{\partial\varphi}$ en la ecuación de valores propios \begin{equation} -i\hbar\frac{\partial}{\partial\varphi}Y(\theta , \varphi)=bY(\theta , \varphi) \end{equation}
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\begin{equation} \hat{l}^2 Y(\theta , \varphi)=cY(\theta , \varphi) \end{equation} Sustituyendo el operador $\hat{l}^2$ en esféricas y escribiendo el armónico esférico como producto $S(\theta)T(\varphi)$ \begin{equation} -\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+cotg\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{sen^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right)\left(S(\theta)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi}\right)=cS(\theta)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi} \end{equation} Actuando con el operador sobre la función y simplificando: \begin{equation} -\hbar^2\left(\frac{\partial^2S(\theta)}{\partial\theta^2}+cotg\theta\frac{\partial S}{\partial\theta}-\frac{m^2}{sen^2\theta}S(\theta)\right)\cancel{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi}}=cS(\theta)\cancel{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi}} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial^2S(\theta)}{\partial\theta^2}+cotg\theta\frac{\partial S}{\partial\theta}-\frac{m^2}{sen^2\theta}S(\theta)=-\frac{c}{\hbar^2}S(\theta) \end{equation} La resolución de esta ecuación diferencial nos da el valor propio, c, y la función propia $S(\theta)$. \begin{equation} c=\hbar^2l(l+1) \end{equation} \begin{equation} S_{l,m}(\theta)=(-1)^{\frac{m+|m|}{2}}sen^{|m|}\theta\sum_{j=0,(1),2,(3)..}^{l-|m|}a_j cos^{j}\theta \end{equation}