Sea $\varphi$ una función normalizada, bien comportada y que cumple las condiciones de contorno del problema (llamada función de prueba). El teorema variacional dice que:

\begin{equation}\label{ecu1}
\int\varphi^{\ast}\hat{H}\varphi dq\geq E_0
\end{equation}

Donde $E_0$ es la energía del estado fundamental.

Demostración

La integral variacional dada por la ecuación (\ref{ecu1}) puede escribirse en la siguiente forma:

\begin{equation}\label{ecu2}
\int\varphi^{\ast}\left(\hat{H}-E_0 \right)\varphi dq\geq 0
\end{equation}

Sea $\varphi=\sum_{i} c_i \psi_i$, siendo $\psi_i$ funciones propias el operador hamiltoniano $\hat{H}\psi_i=E_i\psi_i$

\begin{equation}
\int\sum_{i}c_{i}^\ast \psi_{i}^\ast\left(\hat{H}-E_{0}\right)\sum_{i}c_{j}\psi_j dq=\sum_{i}c_{i}^{\ast}\sum_{j}c_j\int\psi_{i}^{\ast}\left(\hat{H}-E_0\right)\psi_j dq= \nonumber
\end{equation}

\begin{equation}
\sum_{i}c_{i}^{\ast}\sum_{j}c_j\left[\int\psi_{i}^{\ast}\hat{H}\psi_j dq-\int\psi_{i}^{\ast}E_0 \psi_j dq\right]=\sum\left|c_i\right|^2\left(E_i-E_0\right)\geq0
\end{equation}