Una fuerza central es aquella que proviene de una función energía potencial con simetría esférica, es decir, una función que sólo depende de la distancia al origen de la partícula: $V=V(r)$ Así: $\left(\frac{\partial V}{\partial\theta}\right)_{r,\varphi}=0 ;$ y $\left(\frac{\partial V}{\partial\varphi}\right)_{r,\theta}=0 ;$ Consideremos ahora la mecánica-cuántica de una partícula simple sometida a una fuerza central: \begin{equation} \hat{H}=\hat{T}+\hat{V}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r) \end{equation} Expresemos $\nabla^2$ en coordenadas polares esféricas: \begin{equation} \nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\frac{1}{r^2}\cot\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{r^2 sen^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} \end{equation} Recordando la expresión del operador $\hat{l}^2$: \begin{equation}\label{ec3} \hat{l}^2=-\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\cot\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{sen^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right) \end{equation} Sustituyendo la ecuación (3) en la (2) se obtiene: \begin{equation}\label{ec4} \nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{\hbar^2 r^2}\hat{l}^2 \end{equation} Llevando la ecuación (4) a la (1) el hamiltoniano para un sistema de una partícula se transforma en: \begin{equation}\label{ec5} \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{2mr^2}\hat{l}^2+V(r) \end{equation} En mecánica cuántica, nos preguntamos si es posible la existencia de estados con valores definidos para la energía y el momento angular. Para que el conjunto de funciones propias de $\hat{H}$ lo sea también de $\hat{l}^2$, el comutador $[\hat{H},\hat{l}^2]$ debe anularse: \begin{equation} [\hat{H},\hat{l}^2]=[\hat{T}+\hat{V},\hat{l}^2]=[\hat{T},\hat{l}^2]+\underbrace{[\hat{V},\hat{l}^2]}_{0} \end{equation} El conmutador $[\hat{V},\hat{l}^2]$ es cero al no tener variables comunes los operdores $\hat{l}(\theta,\varphi)$ y $V(r)$. \begin{equation} [\hat{T},\hat{l}^2]=\left[-\frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{2mr^2}\hat{l}^2,\hat{l}^2\right] \end{equation} Aplicando propiedades de conmutadores: \begin{equation} [\hat{T},\hat{l}^2]=-\frac{\hbar^2}{2m}\left[\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r},\hat{l}^2\right]+\frac{1}{2m}\left[\frac{1}{r^2}\hat{l}^2,\hat{l}^2\right]=0 \end{equation} De forma análoga se puede demostrar que: $[\hat{H},\hat{l}_z]=0$ y $[\hat{l}^2,\hat{l}_z]$.

Esto significa que podemos tener un conjunto de funciones propias simultáneas de $\hat{H},\hat{l}^2,\hat{l}_z$ para el problema de fuerzas centrales.

Si denotamos por $\psi$ las funciones propias comunes \begin{eqnarray} \hat{H}\Psi & = & E\Psi\\ \hat{l}^2 \Psi & = & \hbar^2l(l+1)\Psi\;\;l=0,1,2...\\ \hat{l}_z \Psi & = & m\hbar\Psi\;\;m=-l,...,0....+l \end{eqnarray} La ecuación de Schrödinger se puede escribir: \begin{equation} \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{2mr^2}\hat{l}^2+V(r)\right]\Psi=E\Psi \end{equation} La función de onda puede escribirse como el producto de una parte radial $R(r)$ por un armónico esférico $Y_{l,m}(\theta,\varphi)$. Esta separación de variables es posible por tener el potencial simetría esférica (sólo dependiente de r). \begin{equation} \Psi = R(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi) \end{equation} Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger \begin{equation} \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{2mr^2}\hat{l}^2+V(r)\right]R(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi)=ER(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi) \end{equation} \begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2 R(r)}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial R(r)}{\partial r}\right)Y_{l,m}(\theta,\varphi)+\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}R(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi)+\\+V(r)R(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi)=ER(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi) \end{equation} Dividiendo por $Y_{lm}(\theta,\varphi)$ \begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2 R(r)}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial R(r)}{\partial r}\right)+\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}R(r)+V(r)R(r)=ER(r) \end{equation} En esta última ecuación, llamada ecuación de Schrödinger radial, se observa que para cualquier problema de una partícula, con una función energía potencial de simetría esférica V(r), la función propia $\Psi$ es el producto de un factor radial y un armónico esférico.