Las funciones propias de los operadores momento angular son los armónicos esféricos $Y=Y(\theta , \varphi)$. La ecuación de valores propios viene dada por: \begin{equation} \hat{l}_z Y(\theta , \varphi)=bY(\theta , \varphi) \end{equation} Donde b es valor propio de $\hat{l}_z$. Sustituyendo $\hat{l}_z = -i\hbar\frac{\partial}{\partial\varphi}$ en la ecuación de valores propios \begin{equation} -i\hbar\frac{\partial}{\partial\varphi}Y(\theta , \varphi)=bY(\theta , \varphi) \end{equation} Separando el armónico esférico en producto de dos funciones dependientes de una sola variable $Y(\theta , \varphi)=S(\theta)T(\varphi)$ \begin{equation} -i\hbar\frac{\partial}{\partial\varphi}\left[S(\theta)T(\varphi)\right]=bS(\theta)T(\varphi) \end{equation} \begin{equation} -i\hbar \cancel{S(\theta)}\frac{\partial T(\varphi)}{\partial\varphi}=b\cancel{S(\theta)}T(\varphi) \end{equation} Separando variables e integrando \begin{equation} \frac{dT(\varphi)}{T(\varphi)}=\frac{ib}{\hbar}d \varphi\;\;\rightarrow \;\;T(\varphi)=Ae^{ib\varphi/\hbar} \end{equation} La función $T(\varphi)$ no es admisible como propia ya que al sumar $2\pi$ a $\varphi$, estamos en el mismo punto del espacio y la función $T(\varphi)$ no debe cambiar. Para resolver este problema aplicamos condiciones límite obligando a que $T(\varphi)$ sea periódica de periodo $2\pi$. \begin{equation} T(\varphi + 2\pi)=T(\varphi) \end{equation} \begin{equation} Ae^{ib(\varphi+2\pi)/\hbar}=Ae^{ib\varphi/\hbar} \end{equation} \begin{equation} \cancel{Ae^{ib\varphi/\hbar}}e^{ib2\pi/\hbar}=\cancel{Ae^{ib\varphi/\hbar}} \end{equation} Simplificando: $e^{ib2\pi/\hbar}=1$ Empleando la relación de Euler $e^{i\alpha}=cos\alpha + isen\alpha$ \begin{equation} e^{ib2\pi/\hbar}=1=cos\frac{b2\pi}{\hbar}+isen\frac{b2\pi}{\hbar} \end{equation} Para que esta última ecuación se cumpla, el coseno debe ser 1 y el seno 0. \begin{equation} \frac{b2\pi}{\hbar}=2\pi m \;\;\rightarrow b=m\hbar \;\;con\;m=0,\pm 1, \pm 2,.... \end{equation} \begin{equation} T(\varphi)=Ae^{im\varphi}\;\; m=0,\pm 1, \pm 2,.... \end{equation} El factor A se calcula por normalización \begin{equation} 1=\int_{0}^{2\pi}T^{\ast}(\varphi)(\varphi)d\varphi =\int_{0}^{2\pi}A^{\ast}e^{-im\varphi}Ae^{im\varphi}d\varphi=|A|^2 \int_{0}^{2\pi}d\varphi=|A|^2 2\pi \end{equation} \begin{equation} A=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \end{equation} \begin{equation} T(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi}\;\;m=0,\pm 1, \pm 2...... \end{equation}