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La ecuación de Schrödinger nuclear

Solapas principales

La aproximación de Born-Oppenheimer permite separar la ecuación de Schrodinger para una molécula en una ecuación electrónica y otra nuclear. La ecuación de Schrödinger para el movimiento nuclear en un estado electrónico determinado viene dada por:

\begin{equation}\label{1} \left(\hat{T}_N + E_e\right)\psi_N=E\psi_N \end{equation}

Donde $\hat{T}_N$ representa la energía cinética de los nucleos. $E_e$ es el potencial nuclear (energía electrónica y repulsión entre nucleos) y depende del estado electrónico de la molécula. E es la energía total de la molécula.

Particularizando estos resultados para una molécula diatómica compuesta por dos átomos 1 y 2 de masas $m_1$ y $m_2$

\begin{equation}\label{2} \left[-\frac{\hbar^2}{2m_1}\nabla_{1}^{2}-\frac{\hbar^2}{2m_2}\nabla_{2}^{2} +E_e(R)\right]\psi_N =E\psi_N \end{equation}

El potencial nuclear $E_e(R)$ depende exclusivamente de la separación entre los nucleos, lo cual permite separar el movimiento molecular en los movimientos de tralación del centro de masas y en el movimiento interno. La energía también puede ser separada en energía traslacional y energía interna $E=E_{tr}+E_{int}$

La ecuación de Schrödinger para el movimiento interno se obtiene empleando como masa la masa reducida del sistema y como coordenadas las del vector que une ambos nucleos.

\begin{equation}\label{3} \left[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^{2} +E_e(R)\right]\psi_{int} =E_{int}\psi_{int} \end{equation}

La masa reducida viene dada por la ecuación $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ y el operador nabla cuadrado por: $\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$, siendo x,y,z las coordenadas del vector que une ambos nucleos.