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Reacciones Reversibles de Primer Orden

Solapas principales

Para una reacción reversible $A\rightleftharpoons C$ de primer orden, con constantes cinéticas para la reacción directa $k_1$ e inversa $k{-1}$, determinaremos $[A]$ y $[C]$ en función del tiempo, suponiendo que $[C]_0=0$.  La variación de la $[A]$ en el tiempo viene dada por la expresión: \begin{equation}\label{1} \frac{d[A]}{dt}=-k_1[A]+k_{-1}[C] \end{equation} De la estequiometría deducimos, $[C]=[A]_0 -[A]$, sustituyendo en $(\ref{1})$ \begin{equation} \frac{d[A]}{dt}=-k_1[A]+k_{-1}\left([A]_0 - [A]\right) \end{equation} Separando variables e integrando: \begin{equation} \int_{[A]_0}^{[A]}\frac{d[A]}{k_{-1}[A]_0 -\left(k_1+k_{-1}\right)[A]}=\int_{0}^{t}dt \end{equation} La integral es inmediata tipo neperiano si multiplicamos y dividimos por la derivada del denominador. \begin{equation} \frac{1}{-(k_1 +k_{-1})}ln\frac{k_{-1}[A]_0-(k_1 +k_{-1})[A]}{\cancel{k_{-1}[A]_0}-(k_1 +\cancel{k_{-1}})[A]_0}=t \end{equation} Sólo nos queda despejar $[A]$ de esta última ecuación: \begin{equation} ln\frac{k{-1}[A]_0 -(k_1 +k_{-1})[A]}{-k_1[A]_0}=-(k_1+k_{-1})t \end{equation} \begin{equation} k_{-1}[A]_0-(k_1+k_{-1})[A]=-k_1[A]_0 e^{-(k_1+k_{-1})t} \end{equation} \begin{equation} (k_1+k_{-1})[A]=[A]_0\left[k_{-1}+k_1 e^{-(k_1+k_{-1})t}\right] \end{equation} \begin{equation} [A]=\frac{[A]_0}{k_1+k_{-1}}\left[k_{-1}+k_1 e^{-(k_1+k_{-1})t}\right] \end{equation} El cálculo de $[C]$ puede realizarse empleando la relación $[C]=[A]_0 -[A]$ \begin{equation} [C]=[A]_0\left[1-\frac{1}{k_1+k_{-1}}\left(k_1+k_1 e^{-(k_1+k_{-1})t}\right)\right] \end{equation} Una vez alcanzado el equilibrio $t\rightarrow \infty$ las concentraciones de reactivo y producto vendrán dadas por: \begin{equation} [A]_{e}=\frac{[A]_0k_{-1}}{k_1+k_{-1}} \end{equation} \begin{equation} [C]_{e}=\frac{[A]_0k_1}{k_1+k_{-1}} \end{equation} El cociente entre ambas concentraciones de equilibrio nos da una relación entre la constante cinética de la reacción directa e inversa. \begin{equation} \frac{[C]_{e}}{[A]_{e}}=\frac{k_1}{k_{-1}}\;\; \rightarrow [C]_{e}=\frac{k_1}{k_{-1}}[A]_{e} \end{equation}