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Reacciones Consecutivas

Solapas principales

Sean las reacciones consecutivas $A \stackrel{k_1}{\rightarrow}B\stackrel{k_2}{\rightarrow}C$, de primer orden, determinaremos $[A]$, $[B]$ y $[C]$ en función del tiempo, suponiendo que $[B]_0 =[C]_0=0$.  La variación de la $[A]$ en el tiempo viene dada por la expresión: \begin{equation} \frac{d[A]}{dt}=-k_1[A]\label{eq:1} \end{equation} Separando variables e integrando: \begin{equation} [A]=[A]_0 e^{-k_1 t}\label{eq:2} \end{equation} Pasamos ahora a obtener la variación de $[B]$ con t \begin{equation} \frac{d[B]}{dt}=k_1[A]-k_2[B] \end{equation} Sustituyendo $[A]$ por $(\ref{eq:2})$ \begin{equation} \frac{d[B]}{dt}=k_1[A]_0 e^{-k_1 t}-k_2[B] \end{equation} Esta ecuación diferencial es de la forma $\frac{dy}{dx}=f(x)+g(x)y$ y su solución es de la forma $y=e^{w(x)}\left[\int e^{-w(x)}f(x)dx+c\right]$, donde $w(x)=\int g(x)dx$.\\ Comparando ambas ecuaciones llegamos a las siguientes igualdades $[B]=y$, $t=x$, $f(x)=k_1 [A]_0 e^{-k1 t}$, $g(x)=-k_2$, $w(x)=\int -k_2 dx=-k_2 x=-k_2 t$.   Por tanto, la solución de la ecuación diferencial que nos da $[B]$ es: \begin{equation} [B]=e^{-k_2 t}\left[\int e^{k_2 t}k_1 [A]_0 e^{-k_1 t}dt+c\right] \end{equation} Integrando: \begin{equation} [B]=e^{-k_2 t}k_1 [A]_0 \frac{1}{k_2 - k_1}e^{(k_2 - k_1)t}+ce^{-k_2 t} \end{equation} Calculamos la constante de integración, c, con las condiciones iniciales $t=0\;\;\rightarrow [B]=0$ \begin{equation} 0=e^{-k_2 0}\frac{1}{k_2 - k_1}e^{(k_2-k_1)0}+ce^{-k_2 0} \end{equation} Despejando c \begin{equation} c=\frac{-k_1[A]_0}{k_2 - k_1} \end{equation} Sustituyendo c en la ecuación de $[B]$ \begin{equation} [B]=\frac{k_1[A]_0}{k_2-k_1}\left(e^{-k_1 t}-e^{-k_2 t}\right) \end{equation} Vamos a obtener la posición del máximo de [B] \begin{equation} \frac{d[B]}{dt}=0=\frac{k_1[A]_0}{k_2-k_1}\left(-k_1e^{-k_1 t}-k_2 e^{-k_2 t}\right) \end{equation} Simplificando: \begin{equation} k_1 e^{-k_1 t}=k_2e^{-k_2 t} \end{equation} \begin{equation} \frac{k_2}{k_1}=e^{(k_2-k_1)t} \end{equation} Tomando logaritmos neperianos \begin{equation} ln\frac{k_2}{k_1}=(k_2-k_1)t \end{equation} Despejando el tiempo máximo \begin{equation} t_m=\frac{ln\frac{k_2}{k_1}}{k_2-k_1} \end{equation} Llevando este tiempo a [B] obtenemos $[B]_m$ \begin{equation} [B]_m=\frac{k_1 [A]_0}{k_2-k_1}\left(e^{-k_1t_m}-e^{-k_2t_m}\right) \end{equation} La concentración de C en función del tiempo puede obtenerse por estequiometría $[C]=[A]_0 - [A]-[B]$