Teoría cinética aplicada a la viscosidad de los gases

Solapas principales

Vamos a deducir una expresión para la viscosidad empleando la teoría cinética de los gases. la deducción es análoga a la realizada para la conductividad térmica, con la excepción de que en vez de transportar calor se transporta cantidad de movimiento.

\begin{equation} J_z=J_{\uparrow}-J_{\downarrow}=dN_{\uparrow}p_{\uparrow}-dN_{\downarrow}p_{\downarrow} \end{equation} Dado que $dN_{\uparrow}=dN{\downarrow}=\frac{1}{4}\frac{N}{V}\bar{v}$ \begin{equation} J_z=\frac{1}{4}\frac{N}{V}\bar{v}(p_{\uparrow}-p_{\downarrow}) \end{equation} Donde, $p_{\uparrow}$ es la cantidad de movimiento de una molécula en el plano $x_0-2/3\lambda$ y $p_{\downarrow}$ el momento lineal correspondiente al plano $x_0+2/3\lambda$. $J_z$, representa el flujo neto de momento lineal por unidad de área y tiempo.
\begin{equation} p_{\uparrow}=m\left[v_{x0}-\left(\frac{\partial v_x}{\partial z}\right)_0\cdot\frac{2}{3}\lambda\right] \end{equation} \begin{equation} p_{\downarrow}=m\left[v_{x0}+\left(\frac{\partial v_x}{\partial z}\right)_0\cdot\frac{2}{3}\lambda\right] \end{equation} Sustituyendo en $J_z$ \begin{equation} J_z=\frac{1}{4}\frac{N}{V}m\left[v_{x0}-\left(\frac{\partial v_x}{\partial z}\right)_0\cdot\frac{2}{3}\lambda-v_{x0}+\left(\frac{\partial v_x}{\partial z}\right)_0\cdot\frac{2}{3}\lambda\right] \end{equation} Simplificando \begin{equation} J_z=\frac{1}{3}\frac{N}{V}\bar{v}m\lambda\left(\frac{\partial v_x}{\partial z}\right)_0 \end{equation} Comparando esta última ecuación con $J_z=-\eta\frac{dv_x}{dz}$, obtenemos el valor de $\eta$ \begin{equation} \eta =\frac{1}{3}\frac{N}{V}\bar{v}m\lambda \end{equation} Llamando $\rho=N/V$ y $m=M/N_A$, nos queda \begin{equation} \eta =\frac{1}{3}\bar{v}\lambda\rho\frac{M}{N_A} \end{equation} Un tratamiento más riguroso nos lleva a la ecuación: \begin{equation} \eta=\frac{5\pi}{32}\bar{v}\lambda\rho\frac{M}{N_A} \end{equation} Ecuación que resulta más manejable si hacemos las siguientes sustituciones: $\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2}\frac{kT}{P}$; $\rho=\frac{N}{V}=\frac{P}{RT}$ y $\bar{v}=\left(\frac{8kT}{\pi m}\right)^{1/2}$: \begin{equation} \eta =\frac{5}{16\sqrt{\pi}}\frac{{MRT}^{1/2}}{N_Ad^2} \end{equation}