Rendimiento del ciclo de Carnot (Gas ideal)

Solapas principales

Ahora calculemos el rendimiento de un ciclo de Carnot, usando como sustancia de trabajo un mol de gas ideal y con sólo trabajo P-V.

Escribimos la ecuación del primer principio: \begin{equation} dU=dq+dw=dq-pdV \end{equation} Para un gas ideal se cumple que: \begin{equation} dU=C_vdT\;\;y\;\;P=\frac{nRT}{V} \end{equation} Sustituyendo en el primer principio: \begin{equation} C_vdT=dq-\frac{nRT}{V}dV \end{equation} Dividiendo toda la ecuación por T \begin{equation} \frac{C_v}{T}dT=\frac{dq}{T}-nR\frac{dV}{V} \end{equation} Integrando sobre el ciclo de Carnot \begin{equation} \oint C_v\frac{dT}{T}=\oint\frac{dq}{T}-nR\oint\frac{dV}{V} \end{equation} Las integrales $\oint C_v\frac{dT}{T}$ y $\oint\frac{dV}{V}$ son cero ya que los integrandos son diferenciales de funciones de estado y la integral a lo largo de un ciclo es cero. Por tanto, la igualdad se transforma en: \begin{equation} \oint \frac{dq}{q}=0 \end{equation} expresión válida para un ciclo de Carnot operando con un gas ideal. Escribiendo los cuatro términos de la integral (uno para cada etapa del ciclo de Carnot). \begin{equation} \oint\frac{dq}{q}=\oint_{1}^{2}\frac{dq}{T}+\oint_{2}^{3}\frac{dq}{T}+\oint_{3}^{4}\frac{dq}{T}+\oint_{4}^{1}\frac{dq}{T} \end{equation} Las etapas adiabáticas ($2\rightarrow 3$ y $4\rightarrow 1$) tienen $dq=0$ y las integrales correspondientes a estas etapas son cero. Las etapas isotérmicas trabajan a temperaturas $T_F$ y $T_c$ intercambiando con el entorno unos calores $q_F$ y $q_c$ respectivamente.

Por tanto: \begin{equation} \oint\frac{dq}{q}=0=\frac{q_c}{T_c}+\frac{q_F}{T_F} \end{equation} Despejando: \begin{equation} \frac{q_F}{q_c}=\frac{T_c}{T_F} \end{equation} Sustituyendo en la expresión calculada anteriormente para el rendimiento en el ciclo de Carnot. \begin{equation} e=1-\frac{q_F}{q_c}=1-\frac{T_F}{T_c} \end{equation} Esta expresión nos da el rendimiento de una máquina térmica reversible operando entre dos temperaturas $T_C$ (foco caliente) $T_F$ (foco frío). Como puede observarse el rendimiento sólo depende de la diferencia de temperaturas entre ambos focos y se aproxima a 1 cuando más pequeño sea $T_F$ y mayor $T_C$.

Una máquina reversible no existe en la realidad, todas las máquinas trabajan con cierta irreversibilidad, por ello, el ciclo de Carnot representa un límite máximo de rendimiento no pudendo ser superado por ninguna máquina real.