Problema 1. Número de moléculas con velocidad entre $v_1$ y $v_2$

Solapas principales

Para 1 mol de oxígeno a 300K y 1 atm calcular:

a) El número de moléculas cuyas velocidades estén comprendidas entre 500,000 y 500,001 m/s (puesto que este intervalo de velocidades es pequeño, la función de distribución prácticamente no varía, y podemos considerarlo infinitesimal).

b) El número de moléculas con $v_z$ comprendido entre 150000 y 150001 m/s.

c) El número de moléculas que simultáneamente tienen $v_z$ y $v_x$ entre 150,000 y 150,001 m/s.

Solución:

a) \begin{equation} \frac{dN_v}{N}=G(v)dv \;\rightarrow N_v=NG(v) \Delta v \end{equation} \begin{equation} G(v)=\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}e^{\frac{-mv^2}{2kT}}4\pi v^2 \end{equation}

Sustituyendo, $v=500\;m/s$; $k=1,38x10^{-23}J/s$; $T=300K$; $m=\frac{0.032}{6x10^{23}}=5.33x10^{-26}\;kg$, se obtiene: $G(v)=1.85x10^{-3}\;s/m$

Por tanto, $N_v=6x10^{23}\cdot (1.85x10^{-3}\;s/m)\cdot (0.001\;m/s)=1.1x10^{18}\;moleculas$

b) \begin{equation} \frac{dN_{vz}}{N}=G(v_z)dv_z \;\rightarrow N_{vz}=NG(v_z) \Delta v_z=7.75x10^{17}\;moleculas \end{equation} \begin{equation} g(v_z)=\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{1/2}e^{\frac{-mv_{z}^{2}}{2kT}} \end{equation} Se resuelve de forma análoga al apartado a)

c) \begin{equation} N_{v_xv_yv_z}=Ng(v_x)g(v_z) \Delta v_x \Delta v_z =9,22x10^{11}\;moleculas \end{equation}