El spin del electrón

Solapas principales

Se establecen los operadores de spin de forma análoga a los del momento angular orbital.

$\hat{l}_x$ $\hat{l}_y$ $\hat{l}_z$ $\hat{l}^2$
$\hat{s}_x$ $\hat{s}_y$ $\hat{s}_z$ $\hat{s}^2$


Donde, $\hat{s}^2$, es el cuadrado del momento angular de spin y $\hat{s}_z$, la componente z del momento angular de spin.

El momento angular de spin cumple las mismas relaciones de conmutación que en el momento angular orbital:
\begin{equation}
[\hat{l}_x,\hat{l}_y]=i\hbar \hat{l}_z\;\;\rightarrow [\hat{s}_x,\hat{s}_y]=i\hbar \hat{s}_z
\end{equation}
\begin{equation}
[\hat{l}_y,\hat{l}_z]=i\hbar \hat{l}_x\;\;\rightarrow [\hat{s}_y,\hat{s}_z]=i\hbar \hat{s}_x
\end{equation}
\begin{equation}
[\hat{l}_z,\hat{l}_x]=i\hbar \hat{l}_y\;\;\rightarrow [\hat{s}_z,\hat{s}_x]=i\hbar \hat{s}_y
\end{equation}
También se cumplen las mismas relaciones de conmutación para el cuadrado del momento angular y sus componentes.
\begin{equation}
[\hat{l}^2,\hat{l}_x]=[\hat{l}^2,\hat{l}_y]=[\hat{l}^2,\hat{l}_z]=0
\end{equation}
\begin{equation}
[\hat{s}^2,\hat{s}_x]=[\hat{s}^2,\hat{s}_y]=[\hat{s}^2,\hat{s}_z]=0
\end{equation}
Estas últimas relaciones de conmutación nos indican que el momento angular al cuadrado de spin conmuta con sus componentes, existiendo un conjunto completo de funciones propias de ambos operadores. Es decir, si consderamos los operadores $\hat{s}^2$ y $\hat{s}_z$, existe un conjunto completo de funciones popias comunes de ambos. Este conjunto completo de funciones propias está formado por dos miembros, llamados $\alpha$ y $\beta$. Cualquier estado cuántico de spin viene dado por dichas funciones o por combinaciones lineales de las mismas.

Escribimos las ecuaciones de valores propios para $\hat{s}^2$ y $\hat{s}_z$ por analogía con las de $\hat{l}^2$ y $\hat{l}_z$
\begin{equation}
\hat{l}^2\psi=\hbar^2l(l+1)\psi
\end{equation}
donde, l=0,1,2,3....
\begin{equation}
\hat{s}^2\alpha=\hbar^2s(s+1)\alpha
\end{equation}
donde, s=0,1/2,1,3/2,2......

\begin{equation}
\hat{l}_z\psi=m\hbar\psi
\end{equation}
donde, m=-l,.....,0,.....+l
\begin{equation}
\hat{s}_z\alpha=m\hbar\alpha
\end{equation}
donde, s=-s,......+s
La experiencia demuestra que el electrón tiene $s=1/2$, lo que nos da un $m_s=\pm\frac{1}{2}$, quedando las ecuaciones anteriores como sigue:
\begin{eqnarray}
\hat{s}^2\alpha & = & 3/4\hbar^2\alpha\\
\hat{s}^2\beta & = & 3/4\hbar^2\beta\\
\hat{s}_z\alpha & = & \frac{1}{2}\hbar\alpha\\
\hat{s}_z\beta & = & \frac{-1}{2}\hbar\beta
\end{eqnarray}
Se considera que $\alpha$ y $\beta$ dependen exclusivamente de $m_s$

La condición de normalización de una función de onda espacial cuyas variables oscilan contínuamente entre $-\infty$ y $\infty$ es:
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\psi^{\ast}\psi dxdydz=1
\end{equation}
En el caso de las funciones de spin la variable $m_s$ sólo toma valores $\pm\frac{1}{2}$ y la condición de normalización se expresa mediante un sumatorio extendido a estos valores.
\begin{equation}
\sum_{m_s=-1/2}^{1/2}\alpha^{\ast}(m_s)\alpha(m_s)=1
\end{equation}
Esta última ecuación implica que $\alpha(+1/2)=1$ y $\alpha(-1/2)=0$. De forma análoga se puede escribir la condición de normalización para $\beta$.