Spin en el átomo de helio

Solapas principales

Vamos a considerar el átomo de helio desde el punto de vista del spin de electrón y del principio de Pauli. Sabemos que el estado fundamental tiene una función de onda 1s(1)1s(2), donde 1s representa el orbital hidrogenoide y el número entre paréntesis se refiere al electrón. Para tener en cuenta el spin debemos multiplicar esta función espacial por una función propia de spin.

Veamos las posibles funciones propias de spin:
\begin{equation}
\alpha(1)\alpha(2);\;\;\beta(1)\beta(2);\;\;\alpha(1)\beta(2);\;\;\beta(1)\alpha(2)
\end{equation}
Las dos primeras funciones son simétricas respecto al intercambio de electrones y no distinguen entre ellos, siendo por tanto válidas para construir la función de onda del helio.

La tercera y cuarta funciones no son válidas por violar el principio de indistinguibilidad. Además no son simétricas ni antisimétricas frente al intercambio de electrones. Para resolver este problema se construyen combinaciones lineales de la forma:
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha(1)\beta(2)+\beta(1)\alpha(2)]\\
\frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha(1)\beta(2)-\beta(1)\alpha(2)]
\end{equation}
La primera de las combinacione es simétrica respecto al intecambio, mientras que la segunda es antisimétrica.

Para construir la función de onda total (incluyendo el spin) del átomo de helio, debemos multiplicar la parte espacial (simétrica) por una función de spín antisimétrica, según nos indica el principio de Pauli.
\begin{equation}
\psi^{0}1s(1)1s(2)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha(1)\beta(2)-\beta(1)\alpha(2)]
\end{equation}
Consideremos ahora los estados excitados del helio. El de más baja energía tiene una función de onda espacial antisimétrica, que multiplicada por cada una de las tres funciones de spin simétricas da lugar a tres estados cuánticos. Este nivel de energía es, por tanto, triplemente degenerado.
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{2}}[1s(1)2s(2)-2s(1)1s(2)]\alpha(1)\alpha(2)
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{2}}[1s(1)2s(2)-2s(1)1s(2)]\beta(1)\beta(2)
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{2}}[1s(1)2s(2)-2s(1)1s(2)]\frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha(1)\beta(2)+\beta(1)\alpha(2)]
\end{equation}
El siguiente nivel de energía se construye con la parte espacial simétrica, multiplicada por la única función de spin antisimétrica.
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{2}}[1s(1)2s(2)+2s(1)1s(2)]\frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha(1)\beta(2)-\beta(1)\alpha(2)]
\end{equation}