Problemas del Oscilador Armónico

Solapas principales

  1. Para el estado fundamental del oscilador armónico unidimensional, encontrar el valor promedio de las energías cinética y potencial. Comprobar que <T>=<V> en este caso. Hállense la posición más probable de la partícula para dicha función de onda y comprobar que se cumple el principio de incertidumbre. Datos:$\int_{0}^{\infty}x^2 e^{-\alpha x^2}dx=\pi^{1/2}/4\alpha^{3/2}$

     

  2. Haciendo uso de la fórmula de Rodrigues, genera los polinomios con $v=0,1,2,3....$

     

  3. El oscilador armónico tridimensional tiene la función de energía potencial $V(x,yz)=k_x \frac{x^2}{2} + k_y \frac{y^2}{2} + k_z \frac{z^2}{2}$, donde $k_x$, $k_y$ y $k_z$ son tres constantes de fuerza. Haciendo uso del método de separación de variables, encontrar las funciones propias y los valores propios de la energía de dicho oscilador.

     

  4. Encontrar las funciones propias y valores propios del hamiltoniano $H$ para un sistema unidimensional con $V(x)=\infty$ para $x<0$ y $V(x)=\frac{1}{2}kx^{2}$ para $x\geq 0$.

     

  5. Demostar explícitamente que los polinomios de Hermite con $v=2,3,4$ satisfacen la relación de recurrencia: $\xi H_{v-1} = (v-1)H_{v-2} + \frac{1}{2}H_{v}$.

     

  6. Demostrar la siguiente relación de recurrencia entre polinomios de Hermite: $H_v = 2\xi H_{v-1}-H'_{v-1}$

     

  7. El operador inversión $\hat{i}$ convierte cada punto del espacio en su opuesto: $\hat{i}f(x,y,z)=f(-x,-y,-z)$, donde $f$ es una función cualquiera. Determina los valores propios de este operador y establece las características de sus funciones propias. En el caso de una caja cúbica o del oscilador armónico isótropo 3D, comprueba que el operador de Hamilton conmuta con el operador inversión, y que las funciones de onda estacionarias y separables de ambos sistemas también son funciones propias de la inversión.

     

  8. Considera un oscilador armónico bidimensional isótropo cuyo potencial es $V(x,y)=\frac{1}{2}k\left(x^2+y^2\right)$.  Escribe la ecuación de Schrödinger de este sistema, y las expresiones generales de las funciones de estado y energías estacionarias que se obtienen al solucionarla utilizando la técnica de separación de variables. La solución del oscilador armónico monodimensional es $\Psi_{v_{x}}=N_{v_{x}}H_{v_{x}}e^{-\xi^2_x/2}$, $E_{v_{x}}=\left(v_{x}+\frac{1}{2}\right)h\nu_{x}$  El cumplimiento del teorema de virial para este sistema nos dice que $\left\langle \hat{T}\right\rangle=\left\langle \hat{V}\right\rangle$. Utiliza este resultado para calcular $\left\langle x^2+y^2\right\rangle$. Para el estado fundamental del oscilador armónico bidimensional, comprueba que las expresiones para $\left\langle x^2\right\rangle$ y $\left\langle y^2\right\rangle$ son equivalentes. Calcula ahora $\left\langle x^2\right\rangle$ utilizando también el resultado del apartado anterior.

     

  9. Empleando criterios de paridad, calcula $\left\langle xy\right\rangle$ para cualquier estado del oscilador armónico bidimensional.Considera la función de onda $\Psi=\Psi_{1}-2\Psi_{2}+\Psi_{3}$, donde $\Psi_{1}$, $\Psi_{2}$,$\Psi_{3}$ son funciones propias normalizadas del hamiltoniano del oscilador armónico monodimensional con v=1,2,3 respectivamente. a) Normaliza $\Psi$. b) Encuentra los valores que se pueden obtener al medir la energía de un oscilador armónico monodimensional que se encuentre en el estado descrito por $\Psi$. c) Encuentra también sus correspondientes probabilidades. d) Una partícula está sometida al potencial $V(x)=ax^2-bx^3$. ¿Pueden ser propias del operador paridad, $\hat{\Pi}$, las funciones propias del hamiltoniano de este sistema?. Justifica la respuesta.

     

  10. Para el oscilador armónico unidimensional las soluciones de la ecuación de Schödinger son: $E_{v}=\hbar\omega\left(v+1/2\right)$ y $\Psi_{v}(x)=N_{v}H_{v}e^{-\beta{x}^2/2}$.  El oscilador armónico circular es un sistema de una partícula que tiene una función de energía dada por $V(x,y)=\frac{1}{2}K\left(x^2+y^2\right)$. Para este sistema:  a) Deducir la expresión general de la energía. b) Calcula la degeneración de los niveles de energía Teniendo en cuenta que $H_{0}=1$, hallar el valor esperado de $x^2y^3$ en el estado fundamental del oscilador armónico circular.

     

  11.  La regla de recurrencia para los coeficientes de los polinomios de Hermite es: $$a_{i+2}=\frac{2i-\left(\frac{\alpha}{\beta}-1\right)}{\left(i+2\right)\left(i+1\right)}a_{i}$$ Siendo $\alpha=\frac{2mE}{\hbar^2}$, $\beta=\left(\frac{mk}{\hbar^2}\right)^{1/2}$. Si $a_{5}$ es el coeficiente no nulo del mayor exponente, escribe una expresión para E en términos de $\omega$ y $\hbar$. Escribe la ecuación de Schödinger independiente del tiempo para un oscilador armónico bidimensional con $k_{x}=k_{y}$. Escribe la expresión de $\Psi(x,y)$ y de E utilizando la solución del oscilador armónico monodimensional.