Polinomios de Hermite

Solapas principales

Algunas expresiones que permiten calcular los polinomios de Hermite son: \begin{equation}\label{ec-34} H_v(\xi)=(2\xi)^v-v(v-1)(2\xi)^{v-2}+\frac{v(v-1)(v-2)(v-3)}{2}(2\xi)^{v-4}+...... \end{equation} La ecuación (\ref{ec-34}) puede escribirse de forma más compacta, como: \begin{equation}\label{ec-35} H_v(\xi)=\sum_{k=0}^{v}(-1)^k\frac{v!}{k!(v-2k)!}(2\xi)^{v-2k} \end{equation} Ahora obtendremos las derivadas primera y segunda de H a partir de la ecuación (\ref{ec-34}). \begin{equation}\label{ec-36} H'_v=2v(2\xi)^{v-1}-2v(v-1)(v-2)(2\xi)^{v-3}+\frac{2v(v-1)(v-2)(v-3)(v-4)}{2}(2\xi)^{v-5}+...... \end{equation} De donde podemos ver que: \begin{equation}\label{ec-37} H'_v=2vH_{v-1} \end{equation} Derivando la ecuación (\ref{ec-37}) se obtiene la derivada segunda de H. \begin{equation}\label{ec-38} H''_v=\frac{dH'_v}{d\xi}=2vH'_{v-1}=4v(v-1)H_{v-2} \end{equation} Sustituyendo estas derivadas en la ecuación de Hermite (\ref{ec-20}) y teniendo en cuenta que $\left(\frac{\alpha}{\beta}-1\right)=2v$ se obtiene: \begin{equation}\label{ec-39} 4v(v-1)H_{v-2}-2\xi 2vH_{v-1} + 2vH_{v}=0 \end{equation} Dividiendo la ecuación (\ref{ec-39}) por $4v$: \begin{equation}\label{ec-40} \xi H_{v-1}=(v-1)H_{v-2}+\frac{1}{2}H_{v} \end{equation} Si en esta última ecuación cambiamos $v$ por $v+1$ nos da: \begin{equation}\label{ec-41} \xi H_{v}=vH_{v-1}+\frac{1}{2}H_{v+1} \end{equation} Otra fórmula que puede resultar útil es la ecuación de Rodrigues. \begin{equation}\label{ec-42} H_v =(-1)^{v}e^{\xi^2}\frac{d^v e^{-\xi^2}}{d\xi^v} \end{equation}