Formulación Matemática de las Reacciones Químicas

Solapas principales

Para un químico, expresiones del tipo:

$$\displaystyle CH_4 + 2\ O_2 \longrightarrow CO_2 + 2\ H_{2}O$$

resultan intuitivas y describen el comportamiento global de las sustancias que en ellas aparecen. Esta forma de representar las reacciones químicas es simple y deriva de forma natural del empleo de las fórmulas químicas como representación escrita de las sustancias que intervienen en cualquier tipo de reacción. Un químico identifica rápidamente el nombre de la sustancia metano con su fórmula $CH_4$ y con todo lo que ambas representaciones, nombre y fórmula, significan: composición estequiométrica de la sustancia, masa molecular, tipo de compuesto químico, características físicas... etc. Años de estudio individual y el trabajo previo de muchas generaciones de investigadores esconden todo eso detrás de una simple fórmula y un nombre. Pero en muchas ocasiones, es necesario convertir este simbolismo en algo mucho más general. Los cálculos matemáticos exigen utilizar expresiones generales que puedan tratarse numéricamente y que tengan un sistema de notación, una formulación numérica, sólido y riguroso.

 

Consideremos un conjunto formado por $S$ compuestos químicos (se entiende que estamos hablando de sustancias puras en general, esto es, tanto compuestos en sentido estricto, por ejemplo $CH_4$, como elementos, $O_2$). Designaremos a cada compuesto con un nombre: $A_1$, $A_2$, ..., $A_i$, ..., donde $i$ $=$ $1$, $2$, ..., $S$. Según esta forma de representación, la reacción que hemos citado antes, se podría escribir:

$$\displaystyle CH_4 + 2\ O_2 \longrightarrow CO_2 + 2\ H_{2}O \quad\equiv\quad A_1 + 2\ A_2 = A_3 + 2\ A_4$$

donde, en este caso:

$$\displaystyle \begin{array}{c} S = 4\\ CH_4 \equiv A_1\\ O_2 \equiv A_2\\ CO_2 \equiv A_3\\ H_{2}O \equiv A_4 \end{array} $$

De esta forma, mediante esta notación, hemos convertido una reacción química en una ecuación matemática que podemos manejar como tal. Es conveniente escribir todos los compuestos químicos en el mismo lado de la ecuación y dar signo positivo a los coeficientes de los productos de la misma. En nuestro caso, por tanto, la reacción se simbolizará mediante la ecuación:

$$\displaystyle - A_1 - 2\ A_2 + A_3 + 2\ A_4 = 0$$

Los coeficientes que aparecen en esta ecuación son los coeficientes estequiométricos, que designaremos como $\alpha_1$, $\alpha_2$, ..., $\alpha_i$, ..., $\alpha_S$, de modo que una reacción cualquiera puede simbolizarse como la ecuación matemática dada por:

$$\displaystyle \sum_{i = 1}^{S} \alpha_i \cdot A_i = \alpha_1 \cdot A_1 + \alpha_2 \cdot A_2 + ... + \alpha_S \cdot A_S = 0$$

Según el convenio que hemos adoptado, los compuestos químicos cuyo coeficiente estequiométrico sea positivo los llamaremos productos de la reacción y los que tengan coeficientes negativos serán los reactivos de la reacción. Los productos se forman a partir de los reactivos mediante la reacción directa. En caso de existir una ecuación matemática inversa de la nuestra, es decir, una reacción que utilice nuestros productos como reactivos y nuestros reactivos como productos, la llamaremos reacción inversa. En la gran mayoría de sistemas reales, las dos reacciones, directa e inversa, tienen lugar de forma simultánea, llegándose a una situación estacionaria cuando ambas reacciones alcanzan velocidades iguales y opuestas. A este estado estacionario lo llamaremos equilibrio químico.

 

Volvamos a la reacción química del ejemplo... Una expresión de este tipo puede interpretarse de varias formas. Podemos suponer que describe el comportamiento microscópico de los compuestos que participan en ella. Es decir, uno podría imaginarse que dos moléculas de oxígeno se aproximan a una molécula de metano y de ese choque se obtiene una molécula de dióxido de carbono y dos de agua. En este caso particular, sabemos que esto no es así. Por otra parte, la notación de la reacción podría ser una descripción macroscópica de las proporciones en que participan las diferentes sustancias químicas en el proceso. Es decir, que lo que vemos escrito significa que el metano y el oxígeno reaccionan entre sí en una proporción total de 1 a 2, obteniéndose dióxido de carbono y agua en proporciones 1 y 2 respecto al metano. De lo anterior, se evidencia que si una expresión de reacción es verdad en un sentido cinético lo será también en el estequiométrico, pero al contrario no tiene porqué ser cierto. Una reacción como la del ejemplo es lo que llamaremos una reacción entera. Una reacción entera no proporciona una descripión de lo que ocurre a nivel microscópico. Para eso necesitamos conocer lo que llamaremos el mecanismo de reacción, es decir, el conjunto de etapas elementales en que podemos descomponer la reacción entera. Cada una de estas etapas elementales se caracteriza porque la ecuación estequiométrica coincide con la cinética.

 

Los coeficientes estequiométricos de una reacción pueden multiplicarse todos por una constante distinta de cero sin que cambie la reacción. En efecto, si tenemos una constante $\lambda$, tal que $\lambda \not= 0$, entonces la ecuación:

$$\displaystyle \sum_{i=1}^{S} \lambda\cdot\alpha_{i}\cdot A_i = 0$$

tiene exactamente el mismo significado que:

$$\displaystyle \sum_{i=1}^{S}\alpha_{i}\cdot A_i = 0$$


Ejercicios

Ejercicio 1: Definiremos un compuesto químico $A_j$ como una combinación lineal de los elementos de la Tabla Periódica $\lbrace E_1, E_2, ..., E_T\rbrace$ dada por:

$$\displaystyle A_j = \sum_{k=1}^{T} \epsilon_{j,k}\ \cdot E_k$$

Demostrar que:

$$\displaystyle \forall\ k \in \lbrace 1, 2, ..., T\rbrace \quad \mbox{ se tiene que } \sum_{j=1}^{S} \alpha_{j}\cdot \epsilon_{jk} = 0$$

Ejercicio 2: Si $M_j$ es la masa molecular de $A_j$, demostrar que:

$$\displaystyle \sum_{j=1}^{S} \alpha_j \cdot M_j = 0$$

¿En qué ley física nos basamos para afirmar ésto?

Ejercicio 3: Si las siguientes dos reacciones:

$$\displaystyle A_1 + A_2 - A_3 - A_4 = 0$$

$$\displaystyle - A_2 + 2\ A_3 - A_4 = 0$$

tienen lugar entre las cuatro especies químicas $A_1$, $A_2$, $A_3$ y $A_4$, demostrar que se cumple que:

$$\displaystyle \frac{1}{2} M_4 < M_3 < 2\ M_4$$

Ejercicio 4: Demostrar que el siguiente esquema de reacción:

$$\displaystyle A_1 + A_2 - A_3 + A_4 = 0$$

$$\displaystyle A_1 - A_2 + A_3 - A_4 = 0$$

es imposible.


Soluciones

Ejercicio 1:

Consideremos una reacción química en la que participe el compuesto $A_j$:

$$\displaystyle \sum_{j=1}^{S} \alpha_j \cdot A_j = 0$$

Dado que cada uno de los compuestos que intervienen en la reacción se puede escribir como combinación lineal de los $T$ elementos de la Tabla Periódica, tendremos que:

$$\displaystyle \sum_{j=1}^{S} \left ( {\alpha_j \cdot \sum_{k=1}^{T} \epsilon_{jk} \cdot E_k} \right ) = 0$$

Es decir, que tendremos:

$$\displaystyle \sum_{j=1}^{S} \left [ {\alpha_j \cdot \left ( {\epsilon_{j1} \cdot E_1 + \epsilon_{j2} \cdot E_2 + ... + \epsilon_{jT} \cdot E_T} \right ) } \right ] = 0$$

O sea que:

$$\displaystyle \alpha_1 \cdot \epsilon_{11} \cdot E_1 + \alpha_1 \cdot \epsilon_{12} \cdot E_2 + ... + \alpha_1 \cdot \epsilon_{1T} \cdot E_T +{}$$

$$\displaystyle {}+ \alpha_2 \cdot \epsilon_{21} \cdot E_1 + \alpha_2 \cdot \epsilon_{22} \cdot E_2 + ... + \alpha_2 \cdot \epsilon_{2T} \cdot E_T +{}$$

$$\displaystyle \vdots$$

$$\displaystyle {}+ \alpha_S \cdot \epsilon_{S1} \cdot E_1 + \alpha_S \cdot \epsilon_{S2} \cdot E_2 + ... + \alpha_S \cdot \epsilon_{ST} \cdot E_T = 0$$

Ahora agrupamos los coeficientes de cada elemento $E_k$, sacándolo factor común, y nos queda que:

$$\displaystyle (\alpha_1 \cdot \epsilon_{11} + \alpha_2 \cdot \epsilon_{21} + ... + \alpha_S \cdot \epsilon_{S1}) \cdot E_1 +{}$$

$$\displaystyle {}+ (\alpha_1 \cdot \epsilon_{12} + \alpha_2 \cdot \epsilon_{22} + ... + \alpha_S \cdot \epsilon_{S2}) \cdot E_2 +{}$$

$$\displaystyle \vdots$$

$$\displaystyle {}+ (\alpha_1 \cdot \epsilon_{1T} + \alpha_2 \cdot \epsilon_{2T} + ... + \alpha_S \cdot \epsilon_{ST}) \cdot E_T = {}$$

$$\displaystyle {}= \sum_{k=1}^{T} {\left ( {\sum_{j=1}^{S} {\alpha_j \cdot \epsilon_{jk}}} \right ) \cdot E_k} = 0$$

Dado que los elementos químicos son linealmente independientes entre sí (no existen reacciones químicas que transformen un elemento en otro, como pudieron comprobar los alquimistas) la única posibilidad de que una combinación lineal de éstos sea nula es que todos los coeficientes sean cero (solución trivial), con lo cual, $\forall\ k = 1, 2, ..., T$ se tiene que:

$$\displaystyle \sum_{j=1}^{S} \alpha_j \cdot \epsilon_{jk} = 0$$

Nota:

Hay que decir que esta demostración tiene una utilidad muy importante. El hecho de que se cumpla la implicación:

$$\displaystyle \sum_{j=1}^{S} \alpha_j \cdot A_j = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sum_{j=1}^{S} \alpha_j \cdot \epsilon_{jk} = 0$$

nos permitirá resolver mediante sistemas de ecuaciones lineales el cálculo de los coeficientes estequiométricos ($\alpha_j$) de las reacciones. Cuando tenemos una reacción química es frecuente conocer las especies que participan en ella así como sus fórmulas empíricas. Pero en cambio, los coeficientes estequiométricos de la reacción suelen tenerse que calcular. Dicho procedimiento se conoce como igualación (o balance) de la ecuación de la reacción. Y el sistema de ecuaciones lineales que deberemos resolver para hallar los valores de los coeficientes $\alpha_j$ es, precisamente, el formado por las ecuaciones:

$$\displaystyle \sum_{j=1}^{S} \alpha_j \cdot \epsilon_{jk} = 0 \mbox{ , donde } k = 1, 2, ..., T$$

Ejercicio 2:

Supongamos que tenemos una reacción cualquiera en la que intervienen $S$ compuestos químicos:

$$\displaystyle \sum_{j=1}^{S} \alpha_j \cdot A_j = 0$$

cuyas masas moleculares son $\{ M_j \}, j = 1, 2, ..., S$. Para calcular el valor de la expresión:

$$\displaystyle \sum_{j=1}^{S} \alpha_j \cdot M_j$$

vamos a descomponerla un poco... De los $S$ compuestos que participan en la reacción, una parte serán reactivos y otra productos. Si tenemos $p$ productos, por ejemplo, entonces podemos reescribir la expresión anterior de la forma siguiente:

$$\displaystyle \sum_{j=1}^{S} \alpha_j \cdot M_j = \sum_{j=1}^{p} \alpha_j \cdot M_j + \sum_{j=p+1}^{S} \alpha_j \cdot M_j$$

Recordando el convenio adoptado para la escritura de las ecuaciones de las reacciones, tendremos que:

$$\displaystyle \left. \begin{matrix} \mbox{ Si } & {1 \leq j \leq p} & \Rightarrow & A_j = producto & \Rightarrow & \alpha_j > 0 \\ \mbox{ Si } & {p < j \leq S} & \Rightarrow & A_j = reactivo & \Rightarrow & \alpha_j < 0 \end{matrix} \right \}$$

de modo que los coeficientes $\alpha_j$ que aparecen en el primer sumatorio son positivos, mientras que los del segundo sumatorio son todos negativos. Esto se visualiza mejor escribiéndolo de la siguiente forma:

$$\displaystyle \sum_{j=1}^{S} \alpha_j \cdot M_j = \sum_{j=1}^{p} \alpha_j \cdot M_j + \sum_{j=p+1}^{S} \alpha_j \cdot M_j = \sum_{j=1}^{p} \alpha_j \cdot M_j - \sum_{j=p+1}^{S} \left | \alpha_j \right | \cdot M_j$$

El producto $\alpha_i \cdot M_i$ representa la masa $m_i$ (en gramos) de sustancia $A_i$ que está reaccionando, ya que:

$$\mbox{nº de moles (mol)} \cdot \mbox{ Masa molecular (g)} \cdot mol^{-1} = \mbox{masa (g)}$$

Por lo tanto, tenemos que:

$$\begin{eqnarray*} \displaystyle \sum_{j=1}^{S} \alpha_j \cdot M_j & = & \sum_{j=1}^{p} \alpha_j \cdot M_j - \sum_{j=p+1}^{S} \left | \alpha_j \right | \cdot M_j ={}\\ & = & \sum_{j=1}^{p} m_j \mbox{(productos)} - \sum_{j=p+1}^{S} m_j \mbox{reactivos} ={}\\ & = & m_{total} (productos) - m_{total} (reactivos) \end{eqnarray*}$$

Ahora bien, por el principio de conservación de la masa (Ley de Lavoisier), sabemos que, en el transcurso de cualquier proceso químico, se cumple que:

$${masa\ total}_{reactivos} = {masa\ total}_{productos}$$

por lo que debe cumplirse que:

$$\displaystyle \sum_{j=1}^{S} \alpha_j \cdot M_j = m_{total} (productos) - m_{total} (reactivos) = 0$$

Ejercicio 3:

Gracias a la demostración del ejercicio anterior, podemos establecer la siguiente relación:

$$\displaystyle \left. \begin{matrix} A_1 & + & A_2 & - & A_3 & - & A_4 & = & 0 \\ {} & - & A_2 & + & 2\ A_3 & - & A_4 & = & 0 \end{matrix} \right \}\quad \Longrightarrow \quad \left \{ \begin{matrix} M_1 & + & M_2 & - & M_3 & - & M_4 & = & 0 \\ {} & - & M_2 & + & 2\ M_3 & - & M_4 & = & 0 \end{matrix} \right.$$

La primera desigualdad se demuestra de forma inmediata a partir de la segunda ecuación:

$$\displaystyle - M_2 + 2\ M_3 - M_4 = 0 \Longrightarrow M_3 = \frac{1}{2}\ M_2 + \frac{1}{2}\ M_4 > \frac{1}{2}\ M_4$$

ya que $M_2 \neq 0$. Por otra parte, si despejamos $M_2$ de la segunda ecuación:

$$\displaystyle - M_2 + 2\ M_3 - M_4 = 0 \Longrightarrow M_2 = 2\ M_3 - M_4$$

y sustituimos el resultado en la primera ecuación, se tiene que:

$$\displaystyle M_1 + (\ 2\ M_3 - M_4\ ) - M_3 - M_4 = 0 \Longrightarrow M_1 + M_3 - 2\ M_4 = 0$$

Por lo tanto:

$$\displaystyle 2\ M_4 = M_1 + M_3 > M_3$$

ya que es evidente que $M_1 \neq 0$.

Ejercicio 4:

Si sumamos las dos ecuaciones, tenemos:

$$\displaystyle \frac{\left. \begin{matrix} A_1 & + & A_2 & - & A_3 & + & A_4 & = & 0 \\ A_1 & - & A_2 & + & A_3 & - & A_4 & = & 0 \end{matrix} \right \}}{\begin{matrix} 2\ A_1 & {\quad} & / & {\quad } & / & {\quad } & / & \ = & 0 \end{matrix}}$$

lo cual es imposible: ¡la materia no puede desaparecer!