Vida Media

Solapas principales

Un concepto muy útil en el estudio de la cinética de una reacción es el tiempo de vida media. Este concepto se utiliza en muchos otros campos. El más conocido quizás sea el estudio de los procesos de desintegración radiactiva. Dichos procesos son, desde nuestro punto de vista, reacciones de primer orden, ya que la velocidad de desintegración de un radionúclido sólo depende de la cantidad de éste presente en la muestra.

Definiremos el tiempo de vida media de un reactivo como el tiempo necesario para que haya reaccionado la mitad de su concentración inicial. Suele representarse como $t_{1/2}$.

En el caso de una reacción de primer orden, cuya ecuación de velocidad sabemos que es:

$$v = k \cdot [A]$$

Entonces, según la definición de $t_{1/2}$, tenemos que:

$$t = t_{1/2} \Longrightarrow [A] = \frac{[A]_0}{2}$$

Usando la fórmula logarítmica para las reacciones de primer orden:

$$\ln [A] = \ln [A]_0 - k \cdot t$$

tendremos que:

$$\ln \frac{[A]_0}{2} = \ln [A]_0 - k \cdot t_{1/2}$$

por lo que:

$$\ln [A]_0 - \ln 2 - \ln [A]_0 = -\ k \cdot t_{1/2}$$

y nos queda que:

$$t_{1/2} = \frac{-\ \ln 2}{-\ k} = \frac{\ln 2}{k}$$

De esta expresión, vemos que el tiempo de vida media es, en este caso, independiente de la concentración inicial. Por otra parte, se evidencia que la constante de velocidad específica tiene dimensiones de $(tiempo)^{-1}$ y también es independiente de la concentración inicial.

Del mismo modo, podemos aplicar el concepto de tiempo de vida media al caso de una reacción de segundo orden respecto a un reactivo. Para este tipo de reacciones, tenemos que:

$$\frac{1}{[A]} - \frac{1}{[A]_0} = k \cdot t$$

entonces, sustituyendo los valores de la definición de vida media, tendremos:

$$\frac{1}{\frac{[A]_0}{2}} - \frac{1}{[A]_0} = k \cdot t_{1/2}$$

es decir:

$$\frac{2}{[A]_0} - \frac{1}{[A]_0} = k \cdot t_{1/2}$$

ahora simplificamos

$$\frac{1}{[A]_0} = k \cdot t_{1/2}$$

y despejamos:

$$t_{1/2} = \frac{1}{k \cdot [A]_0}$$

Como podemos ver, en el caso de las reacciones de segundo orden, el tiempo de vida media sí que depende de la concentración inicial del reactivo de referencia.