Cálculo de beta

Solapas principales

Boltzmann postuló la existencia de una relación entre la entropía total de un sistema termodinámico y el número total de microestados $(\Omega)$ en los que puede hallarse el sistema.
\begin{equation}
S=kln\Omega
\label{ec17}
\end{equation}
Como $\Omega=\sum_{j}W_{j}\approx{W_{max}}$, donde $W_{max}$ representa al macroestado más probable, que por simplicidad representaremos por $W$. Así, el Postulado de Boltzmann nos queda:
\begin{equation}
S=klnW
\label{ec18}
\end{equation}
donde $k$ es la constante de Boltzmann $k=1,38\cdot10^{-27}J/K$ y $W$ es el macroestado con mayor número de microestados.\\
Para un sistema con degeneración el número de microestados del macroestado más probable viene dado por:
\begin{equation}
lnW=NlnN+\sum_{i}N_{i}lng_{i}-\sum_{i}N_{i}lnN_{i}
\label{ec19}
\end{equation}
Sustituyendo (~\ref{ec19})en (~\ref{ec18})
\begin{equation}
S=kNlnN+k\sum_{i}N_{i}lng_{i}-k\sum_{i}N_{i}lnN_{i}
\label{ec20}
\end{equation}
Tomando logaritmos neperianos en la Ley de Boltzmann (~\ref{ec16})
\begin{equation}
lnN_{i}=lnN-lnq+lng_{i}-\beta\epsilon_{i}
\label{ec21}
\end{equation}
Sustituyendo en (~\ref{ec20})
\begin{equation}
S=kNlnN+k\sum_{i}N_{i}lng_{i}-k\sum_{i}\left(N_{i}lnN-N_{i}lnq+N_{i}lng_{i}-N_{i}\beta\epsilon_{i}\right)
\label{ec22}
\end{equation}
Separando el sumatorio:
\begin{equation}
S=kNlnN+k\sum_{i}N_{i}lng_{i}-kNlnN+kNlnq+k\sum_{i}N_{i}lng_{i}+k\beta\sum_{i}N_{i}\epsilon_{i}
\label{ec23}
\end{equation}
Simplificando se obtiene una ecuación para la entropía
\begin{equation}
S=kNlnq+k\beta{E}
\label{ec24}
\end{equation}
Diferenciando S:
\begin{equation}
dS=kN\frac{dq}{q}+kEd\beta+k\beta{dE}
\label{ec25}
\end{equation}
Como $q=\sum_{i}e^{-\beta{\epsilon_{i}}}$ derivando:
\begin{equation}
dq=\sum_{i}{-\beta{e^{-\beta{\epsilon_{i}}}d\epsilon_{i}}}-\sum_{i}\epsilon_{i}e^{-\beta{\epsilon_{i}}}d\beta
\label{ec26}
\end{equation}
Sustituyendo (~\ref{ec26}) en (~\ref{ec25}):
\begin{equation} dS=-kN\frac{\beta\sum_{i}{e^{-\beta{\epsilon_{i}}}{d\epsilon_{i}}}}{q}-kN\frac{d\beta\sum_{i}\epsilon_{i}e^{-\beta{\epsilon_{i}}}}{q}+kEd\beta+k\beta\sum_{i}\epsilon_{i}dN_{i}+k\beta\sum_{i}N_{i}d\epsilon_{i}
\label{ec27}
\end{equation}
En la ecuación (~\ref{ec27}) el primer y último término son iguales, así como, el segundo y tercer término. Simplificando:
\begin{equation}
dS=k\beta\sum_{i}\epsilon_{i}dN_{i}
\label{ec28}
\end{equation}
Desde el punto de vista de la termodinámica clásica $dE=TdS-PdV$. En mecánica estadística $dE=\sum_{i}\epsilon_{i}dN_{i}+\sum_{i}N_{i}d\epsilon_{i}$. Igualando los primeros términos de ambas ecuaciones:
\begin{equation}
TdS=\sum_{i}\epsilon_{i}dN_{i}
\label{ec29}
\end{equation}
Comparando la ecuación (~\ref{ec28}) y la (~\ref{ec29}), se deduce que $k\beta=\frac{1}{T}$, despejando $\beta$
\begin{equation}
\beta=\frac{1}{kT}
\label{ec30}
\end{equation}