Rotor Rígido De Dos Partículas

Solapas principales

Es un sistema de dos partículas separadas por una distancia d sin posibilidad de vibración $r=d$. La energía del rotor es cinética, por ello $V=0$. Estamos interesados solamente en la energía rotacional.

Al ser constante r podemos omitir el factor $R(r)$ en la función de onda, que vendrá dada por un armónico esférico. \begin{equation} \Psi =Y_{l,m}(\theta,\varphi) \end{equation} Planteamos la ecuación de Schrödinger: \begin{equation} \left[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{2\mu d^2}\hat{l}^2+V(r)\right]Y_{l,m}(\theta,\varphi)=EY_{l,m}(\theta,\varphi) \end{equation} Las derivadas respecto a $r$ son nulas, al no depender la función de esta variable. \begin{equation} \frac{1}{2\mu d^2}\hat{l}^2 Y_{l,m}(\theta,\varphi)=EY_{l,m}(\theta,\varphi) \end{equation} Como $\hat{l}^2\Psi=l(l+1)\hbar^2\Psi$ y cambiando $l$ por el número cuántico rotacional $J$, nos queda: \begin{equation} \frac{1}{2\mu d^2}J(J+1)\hbar^2\cancel{Y_{l,m}(\theta,\varphi)}=E\cancel{Y_{l,m}(\theta,\varphi)} \end{equation} \begin{equation} E=\frac{J(J+1)\hbar^2}{2\mu d^2}\;\;\;\; J=0,1,2.... \end{equation}

  • El nivel más bajo es E=0, de forma que no tenemos energía rotacional en el punto cero. \item Los niveles de energía del rotor rígido están degenerados, la energía del rotor depende de J, pero la función de onda depende de J y de m.
  • Para cada valor de J, m toma valores $-J,......,0,.....,+J$. Cada valor de J tiene $2J+1$ valores de m. Esto implica que cada nivel de energía está $2J+1$ veces degenerado. 
  • Los niveles rotacionales de una molécula diatómica pueden aproximarse por las energías del rotor rígido.