Momento Angular en Coordenadas Esféricas

Solapas principales

La simetría del átomo nos obliga a trabajar en coordenadas polares esféricas. En coordenadas cartesianas las componentes del momento angular vienen dadas por las siguientes ecuaciones: \begin{eqnarray} \hat{l}_x &=& -i\hbar\left[\hat{y}\frac{\partial}{\partial z}-\hat{z}\frac{\partial}{\partial y}\right]\\ \hat{l}_y &=& -i\hbar\left[\hat{z}\frac{\partial}{\partial x}-\hat{x}\frac{\partial}{\partial z}\right]\\ \hat{l}_z &=& -i\hbar\left[\hat{x}\frac{\partial}{\partial y}-\hat{y}\frac{\partial}{\partial x}\right]\label{1} \end{eqnarray}

Relaciones entre coordenadas cartesianas y esféricas:

\begin{eqnarray}  x &=& rsen\theta\cos\varphi \\ y &=& rsen\theta sen\varphi \\ z &=& r\cos\theta \\ r^2 &=& x^2+y^2+z^2 \\ \cos\theta &=& \frac{z}{r}=\frac{z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{1/2}}\\ \tan\varphi &=& \frac{y}{x} \label{2} \end{eqnarray}

Sea la función $f(r,\theta,\varphi)=g(x,y,z)$, calcularemos las derivadas parciales de la función $g$ respecto de las variables $x,y,z$ teniendo en cuenta la siguiente dependencia: $r=r(x,y,z)$, $\theta=\theta(x,y,z)$ y $\varphi=\varphi(x,y,z)$.\\ Aplicando la regla de la cadena a la función $g(x,y,z)$ nos da: \begin{equation}\label{10} \left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)_{y,z}=\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)_{\theta,\varphi}\cdot\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)_{y,z} +\left(\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)_{r,\varphi}\cdot\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_{y,z}+\left(\frac{\partial f}{\partial\varphi}\right)_{r,\theta}\cdot\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)_{y,z} \end{equation} \begin{equation}\label{11} \left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)_{x,z}=\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)_{\theta,\varphi}\cdot\left(\frac{\partial r}{\partial y}\right)_{x,z} +\left(\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)_{r,\varphi}\cdot\left(\frac{\partial\theta}{\partial y}\right)_{x,z}+\left(\frac{\partial f}{\partial\varphi}\right)_{r,\theta}\cdot\left(\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right)_{x,z} \end{equation} \begin{equation}\label{12} \left(\frac{\partial g}{\partial z}\right)_{x,y}=\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)_{\theta,\varphi}\cdot\left(\frac{\partial r}{\partial z}\right)_{x,y} +\left(\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)_{r,\varphi}\cdot\left(\frac{\partial\theta}{\partial z}\right)_{x,y}+\left(\frac{\partial f}{\partial\varphi}\right)_{r,\theta}\cdot\left(\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right)_{x,y} \end{equation} Eliminando $f$ y $g$ de las derivadas: \begin{equation}\label{13} \frac{\partial}{\partial x}=\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)_{y,z}\cdot\frac{\partial}{\partial r} +\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_{y,z}\cdot\frac{\partial}{\partial\theta}+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)_{y,z}\cdot\frac{\partial}{\partial\varphi} \end{equation} \begin{equation}\label{14} \frac{\partial}{\partial y}=\left(\frac{\partial r}{\partial y}\right)_{x,z}\cdot\frac{\partial}{\partial r} +\left(\frac{\partial\theta}{\partial y}\right)_{x,z}\cdot\frac{\partial}{\partial\theta}+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right)_{x,z}\cdot\frac{\partial}{\partial\varphi} \end{equation} \begin{equation}\label{15} \frac{\partial}{\partial z}=\left(\frac{\partial r}{\partial z}\right)_{x,y}\cdot\frac{\partial}{\partial r} +\left(\frac{\partial\theta}{\partial z}\right)_{x,y}\cdot\frac{\partial}{\partial\theta}+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right)_{x,y}\cdot\frac{\partial}{\partial\varphi} \end{equation} Ahora sólo falta calcular las derivadas parciales de $r,\theta,\varphi$ respecto de $x,y,z$ empleando las ecuaciones (\ref{7}),(\ref{8}) y (\ref{9}). Derivando la ecuación (\ref{7}): \begin{equation}\label{16} 2r\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)_{y,z}=2x \end{equation} Sustituyendo x por la expresión (\ref{4}) \begin{equation}\label{17} 2r\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)_{y,z}=2rsen\theta cos\varphi \end{equation} Despejando la derivada: \begin{equation}\label{18} \left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)_{y,z}=sen\theta cos\varphi \end{equation} De forma análoga se obtienen las derivadas de $r$ respecto a las variables $y,z$. \begin{equation}\label{19} \left(\frac{\partial r}{\partial y}\right)_{x,z}=sen\theta sen\varphi \end{equation} \begin{equation}\label{20} \left(\frac{\partial r}{\partial z}\right)_{x,y}=cos\theta \end{equation} Ahora pasamos a calcular las derivadas de $\theta$ respecto a $x,y,z$ \begin{equation}\label{21} -sen\theta\cdot\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_{y,z}=\frac{-z\cdot 1/2 (x^2+y^2+z^2)^{1/2}\cdot 2x}{x^2+y^2+z^2}=\frac{-z\cdot x}{r^3} \end{equation} Sustituyendo $x,z$ con el cambio a esféricas, nos da: \begin{equation}\label{22} -sen\theta\cdot\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_{y,z}=-\frac{rcos\theta\cdot rsen\theta cos\varphi}{r^3} \end{equation} Simplificando: \begin{equation}\label{23} \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_{y,z}=\frac{cos\theta\cdot cos\varphi}{r} \end{equation}

De forma análoga se calculan las derivadas de $\theta$ respecto a $y,z$ \begin{eqnarray} \left(\frac{\partial\theta}{\partial y}\right)_{x,z} &=& \frac{cos\theta\cdot sen\varphi}{r} \\ \left(\frac{\partial\theta}{\partial z}\right)_{x,y} &=& \frac{-sen\theta}{r}\label{25} \end{eqnarray}

A partir de la ecuación (\ref{9}) se obtienen las derivadas parciales de $\varphi$ respecto a $x,y,z$ \begin{equation}\label{26} \frac{1}{cos^2\varphi}\cdot\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)_{y,z}=-\frac{y}{x^2}=-\frac{rsen\theta sen\varphi}{r^2 sen^2\theta cos^2\varphi}=-\frac{sen\varphi}{rsen\theta cos^2\varphi} \end{equation} Despejando la derivada nos da: \begin{equation}\label{27} \left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)_{y,z}=-\frac{sen\varphi}{rsen\theta} \end{equation}

De igual modo calculamos las derivadas de $\varphi$ respecto a $x,y$. \begin{eqnarray} \left(\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right)_{x,z} &=& \frac{cos\varphi}{rsen\theta} \\ \left(\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right)_{x,y} &=& 0\label{29} \end{eqnarray}

Sustituyendo estas nueve derivadas en las ecuaciones (\ref{13}), (\ref{14}) y (\ref{15}), se obtienen los operadores $\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}$ \begin{eqnarray}  \frac{\partial}{\partial x} &=& sen\theta cos\varphi\cdot\frac{\partial}{\partial r}+\frac{cos\theta cos\varphi}{r}\cdot\frac{\partial}{\partial\theta}-\frac{sen\varphi}{rsen\theta}\cdot\frac{\partial}{\partial\varphi}\\ \frac{\partial}{\partial y} &=& sen\theta sen\varphi\cdot\frac{\partial}{\partial r}+\frac{cos\theta sen\varphi}{r}\cdot\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{cos\varphi}{rsen\theta}\cdot\frac{\partial}{\partial\varphi} \\ \frac{\partial}{\partial z} &=& cos\theta\cdot\frac{\partial}{\partial r}-\frac{sen\theta}{r}\cdot\frac{\partial}{\partial\theta}\label{32} \end{eqnarray}

Para terminar sustituimos las expresiones calculadas en las ecuaciones (\ref{1}), (\ref{2}) y (\ref{3}), completándose así el cambio a esféricas. \begin{equation} \hat{l}_x =-i\hbar\left[y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y}\right]= \end{equation} \begin{equation} -i\hbar\left[rsen\theta sen\varphi\left(\cancel{cos\theta\frac{\partial}{\partial r}} -\frac{sen\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)-rcos\theta\left(\cancel{sen\theta sen\varphi\frac{\partial}{\partial r}} +\frac{cos\theta sen\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{cos\varphi}{rsen\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi}\right)\right] \end{equation} Empleando $sen^2 \theta + cos^2 \theta =1$ y $cotg\theta =\frac{cos\theta}{sen\theta}$ y simplificando: \begin{equation} \hat{l}_x =i\hbar\left[sen\varphi\frac{\partial}{\partial \theta}+cotg\theta cos\varphi \frac{\partial}{\partial\varphi}\right] \end{equation} 

De forma análoga obtenemos el operador $\hat{l}_y$ en coordenadas polares esféricas. \begin{equation} \hat{l}_y =-i\hbar\left[z\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial z}\right]= \end{equation} \begin{equation} -i\hbar\left[rcos\theta \left(\cancel{sen\theta cos\varphi\frac{\partial}{\partial r}} +\frac{cos\theta cos\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{sen\varphi}{rsen\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi}\right)-rsen\theta cos\varphi\left(\cancel{cos\theta\frac{\partial}{\partial r}} -\frac{sen\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\right] \end{equation} Empleando $sen^2 \theta + cos^2 \theta =1$ y $cotg\theta =\frac{cos\theta}{sen\theta}$ y simplificando: \begin{equation} \hat{l}_y =-i\hbar\left[cos\varphi\frac{\partial}{\partial \theta}-cotg\theta sen\varphi \frac{\partial}{\partial\varphi}\right] \end{equation}

Repitiendo el mismo procedimiento obtenemos $\hat{l}_z$ en esféricas. \begin{equation} \hat{l}_z = -i\hbar\left[{x}\frac{\partial}{\partial y}-{y}\frac{\partial}{\partial x}\right]=-i\hbar\frac{\partial}{\partial\varphi} \end{equation} También podemos calcular el operador $\hat{l}^2 = \hat{l}^2_{x}+\hat{l}^2_{y}+\hat{l}^2_{z}$ en coordendas esféricas \begin{equation} \hat{l}^2 = -\hbar^2 \left(\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+cotg\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{sen^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right) \end{equation} Obsérvese que los operadores del momento angular son sólo función de las coordenadas $\theta$ y $\varphi$ y no de $r$.