Método variacional lineal

Solapas principales

Sean $f_1, f_2, ......., f_n$ funciones linealmente independientes. Construimos la función de prueba $\varphi$ combiando linealmente la $f_i$ funciones.

\begin{equation}\label{ec5}
\varphi=c_1 f_1 + c_2 f_2 +........+c_n f_n =\sum_{j}c_i f_i
\end{equation}

Donde $\varphi$ es la función variacional de prueba, $c_i$ son parámetros variacionales que deben hacer mínima la integral variacional. $c_i$ y $f_i$ son reales.

Planteamos la integral variacional:

\begin{equation}\label{ecu6}
W=\frac{\int\varphi^{\ast}\hat{H}\varphi dq}{\int\varphi^{\ast}\varphi dq}
\end{equation}

Calculamos por separado numerador y denominador de la integral variacional

\begin{equation}\label{ecu7}
\int\varphi^{\ast}\varphi dq=\int\sum_{i}c_{i}^{\ast}f_{i}^{\ast}\sum_{j}c_j f_j dq=\sum_{i}c_{i}^{\ast}\sum_{j}c_{j}\int f_{i}^{\ast}f_j dq=\sum_{i}\sum_{j}c_i c_j S_{ij}
\end{equation}

Donde $S_{ij}$ es la integral de solapamiento.

\begin{equation}\label{ecu8}
\int\varphi^{\ast}\hat{H}\varphi dq=\int\sum_{i}c_{i}^{\ast}f_{i}^{\ast}\hat{H}\sum_{j}c_{j}f_{j}=\sum_{i}\sum_{j}c_{i}^{\ast}c_j\int f_{i}^{\ast}\hat{H}f_j dq=\sum_{i}\sum_{j}c_{i}^{\ast}c_j H_{ij}
\end{equation}

Sustituyendo las ecuaciones (\ref{ecu7}) y (\ref{ecu8}) en (\ref{ecu6}):

\begin{equation}\label{ecu9}
W=\frac{\sum_{i}\sum_{j}c_{i}c_{j}H_{ij}}{\sum_{i}\sum_{j}c_{i}c_{j}S_{ij}}
\end{equation}

Vamos a minimizar W, para aproximarnos tanto como sea posible a $E_0$. Para ello, derivamos $W$ respecto a los coeficientes $c_k$ de la combinación lineal, e igualamos a cero las derivadas. $\frac{\partial W}{\partial c_k}=0$ con $k=1,2.....n$, da como resultado: $\sum_{i=1}^{n}c_{i}\left(H_{ki}-WS_{ki}\right)=0$

Para una función de prueba con dos funciones base $\varphi=c_1f_1+c_2f_2$, obtenemos el siguiente sistema:
\begin{equation}
c_1(H_{11}-WS_{11})+c_2(H_{12}-WS_{12})=0\\
c_1(H_{21}-WS_{21})+c_2(H_{22}-WS_{22})=0
\end{equation}
Para que el sistema tenga solución única (compatible determinado), el determinante de los coeficientes debe anularse.
\begin{equation}
\left| \begin{array}{cc}
H_{11}-WS_{11} & H_{12}-WS_{12}\\
H_{21}-WS_{21} & H_{22}-WS_{22}
\end{array}
\right|=0
\end{equation}
La resolución del determinante nos da los valores propios de $\varphi$, es decir, las energías, W. A partir de las energías se obtienen los coeficientes variacionales $c_1$ y $c_2$.