La Ecuación de Schrödinger Radial

Solapas principales

Una fuerza central es aquella que proviene de una función energía potencial con simetría esférica, es decir, una función que sólo depende de la distancia al origen de la partícula: $V=V(r)$ Así: $\left(\frac{\partial V}{\partial\theta}\right)_{r,\varphi}=0 ;$ y $\left(\frac{\partial V}{\partial\varphi}\right)_{r,\theta}=0 ;$ Consideremos ahora la mecánica-cuántica de una partícula simple sometida a una fuerza central: \begin{equation} \hat{H}=\hat{T}+\hat{V}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r) \end{equation} Expresemos $\nabla^2$ en coordenadas polares esféricas: \begin{equation} \nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\frac{1}{r^2}\cot\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{r^2 sen^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} \end{equation} Recordando la expresión del operador $\hat{l}^2$: \begin{equation}\label{ec3} \hat{l}^2=-\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\cot\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{sen^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right) \end{equation} Sustituyendo la ecuación (3) en la (2) se obtiene: \begin{equation}\label{ec4} \nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{\hbar^2 r^2}\hat{l}^2 \end{equation} Llevando la ecuación (4) a la (1) el hamiltoniano para un sistema de una partícula se transforma en: \begin{equation}\label{ec5} \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{2mr^2}\hat{l}^2+V(r) \end{equation} En mecánica cuántica, nos preguntamos si es posible la existencia de estados con valores definidos para la energía y el momento angular. Para que el conjunto de funciones propias de $\hat{H}$ lo sea también de $\hat{l}^2$, el comutador $[\hat{H},\hat{l}^2]$ debe anularse: \begin{equation} [\hat{H},\hat{l}^2]=[\hat{T}+\hat{V},\hat{l}^2]=[\hat{T},\hat{l}^2]+\underbrace{[\hat{V},\hat{l}^2]}_{0} \end{equation} El conmutador $[\hat{V},\hat{l}^2]$ es cero al no tener variables comunes los operdores $\hat{l}(\theta,\varphi)$ y $V(r)$. \begin{equation} [\hat{T},\hat{l}^2]=\left[-\frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{2mr^2}\hat{l}^2,\hat{l}^2\right] \end{equation} Aplicando propiedades de conmutadores: \begin{equation} [\hat{T},\hat{l}^2]=-\frac{\hbar^2}{2m}\left[\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r},\hat{l}^2\right]+\frac{1}{2m}\left[\frac{1}{r^2}\hat{l}^2,\hat{l}^2\right]=0 \end{equation} De forma análoga se puede demostrar que: $[\hat{H},\hat{l}_z]=0$ y $[\hat{l}^2,\hat{l}_z]$.

Esto significa que podemos tener un conjunto de funciones propias simultáneas de $\hat{H},\hat{l}^2,\hat{l}_z$ para el problema de fuerzas centrales.

Si denotamos por $\psi$ las funciones propias comunes \begin{eqnarray} \hat{H}\Psi & = & E\Psi\\ \hat{l}^2 \Psi & = & \hbar^2l(l+1)\Psi\;\;l=0,1,2...\\ \hat{l}_z \Psi & = & m\hbar\Psi\;\;m=-l,...,0....+l \end{eqnarray} La ecuación de Schrödinger se puede escribir: \begin{equation} \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{2mr^2}\hat{l}^2+V(r)\right]\Psi=E\Psi \end{equation} La función de onda puede escribirse como el producto de una parte radial $R(r)$ por un armónico esférico $Y_{l,m}(\theta,\varphi)$. Esta separación de variables es posible por tener el potencial simetría esférica (sólo dependiente de r). \begin{equation} \Psi = R(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi) \end{equation} Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger \begin{equation} \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{2mr^2}\hat{l}^2+V(r)\right]R(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi)=ER(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi) \end{equation} \begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2 R(r)}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial R(r)}{\partial r}\right)Y_{l,m}(\theta,\varphi)+\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}R(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi)+\\+V(r)R(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi)=ER(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi) \end{equation} Dividiendo por $Y_{lm}(\theta,\varphi)$ \begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2 R(r)}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial R(r)}{\partial r}\right)+\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}R(r)+V(r)R(r)=ER(r) \end{equation} En esta última ecuación, llamada ecuación de Schrödinger radial, se observa que para cualquier problema de una partícula, con una función energía potencial de simetría esférica V(r), la función propia $\Psi$ es el producto de un factor radial y un armónico esférico.