Ecuación de Schödinger independiente del tiempo

Solapas principales

Cuando el hamiltoniano es independiente del tiempo, la función de estado  puede escribirse como un producto de una función del tiempo por una función de la posición.

Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:

Como \(\Psi\) no depende de t y \(\hat{H}\) tampoco, podemos sacar \(\Psi (q)\) de la derivada temporal y \(f(t)\) del hamiltoniano.

Dividiendo los terminos de la ecuación (3) por \(f(t)\Psi (q)\) nos da:

El miembro de la izquierda depende sólo de t y el de la derecha sólo de las coordenadas q.   Así, la igualdad sólo es posible si  ambos términos son iguales a una constante que llamaremos E.

La primera ecuación nos da la evolución temporal del sistema (ecuación de Schrödinger temporal). La segunda ecuación es la ecuación de Schödinger espacial o independiente del tiempo.
Integramos la ecuación de Schrödinger temporal:

Donde C es la constante de integración.  Tomando antilogaritmos se obtiene la función f(t).

La constante A puede ser incluida  en la función \(\Psi (q)\) como un factor multiplicativo, así, podemos escribir la ecuación anterior como:

Por tanto, en aquellos sistemas en los que el hamiltoniano no depende de t, la función de estado puede escribirse:

Los estados de un sistema físico que pueden escribirse de la forma anterior se caracterizan por tener una energía constante y se denominan estados estacionarios.  Los estados estacionarios se  caracterizan por tener una densidad de probabilidad independiente del tiempo.

Por tanto, para un sistema con \(\hat{H}\) independiente de t, la energía total es constante y la probabilidad de que la partícula tenga sus coordenadas entre \(q\) y \(q+dq\) no cambia con el tiempo.