Ecuación de Schödinger dependiente del tiempo

Solapas principales

Comenzaremos por introducir el Postulado I de la Mecánica Cuántica.  No obstante, cabe indicar que el número de postulados y el orden de los mismos no son únicos, sino que existen diferentes conjuntos de ellos que son físicamente equivalentes.

Postulado I.- El estado de un sistema físico está  descrito por una función \(\Psi (q,t)\) de las coordenadas \((q)\) y del tiempo \(t\).  Esta función, llamada función de estado o función de onda, contiene toda la información que es posible determinar acerca del sistema.  Además, postulamos que \(\Psi (q,t)\) toma valores simples, es finita, continua, con derivadas continuas y de cuadrado integrable.

La función de onda \(\Psi (q,t)\) debe ser concebida  como una función matemática que nos da información acerca del sistema y a partir de la cuál podemos calcular propiedades del mismo.
¿Qué  información proporciona la función de onda?.  Max Born de la Escuela de Copenhague indicó que el módulo al cuadrado de la función de onda representa la densidad de probabilidad de encontrar al sistema en el estado con coordenada \(q\).

El producto de la densidad de probabilidad por un elemento diferencial de longitud \(dq\) nos da la probabilidad de que la partícula se encuentre en un estado cuyas coordenadas estén comprendidas entre \(q\) y \(q+dq\) en el instante t.

Consideremos una partícula que se mueve a lo largo del eje x.  En este caso la función de onda depende sólo de x, \(\Psi (x,t)\) tomamos n sistemas idénticos que no interaccionen unos con otros y todos en el mismo estado  definido por \(\Psi (x,t)\). Medimos la posición de la partícula en cada uno de los n sistemas, por tanto, obtendremos n medidas.  Llamaremos \(dn_x\) al número de medidas en las que la posición de la partícula está entre x y x+dx..  Entonces \(dn_{x}/n\) representa la probabilidad de que la partícula se encuentre entre x y x+dx, es decir:

Este ejemplo permite ver la conexión entre la densidad de probabilidad y las mediciones experimentales.
Podríamos pensar que   puede obtenerse haciendo múltiples medidas en un único sistema, inicialmente en el estado \(\left|\Psi(x,t)\right|^2\), sin embargo, el resultado obtenido no sería válido puesto que el proceso de medida cambia el estado cuántico del sistema.
La probabilidad de que la partícula se encuentre entre los puntos \(x_1\) y \(x_2\) viene dada por la integral:

Si extendemos la integral a lo largo de todo el eje x y el resultado es 1, se dice que la función de onda está normalizada.

Como vemos, la Mecánica Cuántica no permite la medida exacta de la posición en que se encuentra la partícula.  Sólo podemos predecir  la probabilidad de un posible resultado.

La evolución en el tiempo del estado de un sistema en Mecánica Clásica viene dada por la segunda  ley de Newton, ¿Qué ecuación nos proporciona la evolución en el tiempo de la función de onda en Mecánica Cuántica?
El Postulado II responde a esta pregunta.

Postulado II.- La evolución en el tiempo del estado de un sistema está dada por la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.

Donde \(\hbar=h/2\pi\), siendo h una constante universal conocida como constante de Planck, y donde \(\hat{H}\) es el operador de Hamilton (o Hamiltoniano) del sistema.
Para una única partícula moviéndose a lo largo del eje x, \(\hat{H}\) viene dado por:

Donde m es la masa de la partícula y V(x,t) la energía potencial a la que se encuentra sometida la misma.  El hamiltoniano es el operador asociado a la energía del sistema, por ello, es lógico pensar que el primer término sea la energía cinética del sistema.