Función de partición traslacional

Solapas principales

Los niveles de energía traslacionales vienen dados por el modelo de la partícula en una caja tridimensional. \begin{equation} \epsilon_{tr}=\frac{h^2}{8m}\left(\frac{n_{x}^{2}}{a^2}+\frac{n_{y}^{2}}{a^2}+\frac{n_{z}^{2}}{a^2}\right) \end{equation} \begin{equation} q_{tr}=\sum e^{\beta\epsilon_{tr}}=\sum e^{\frac{\beta h^2}{8m}\left(\frac{n_{x}^{2}}{a^2}+\frac{n_{y}^{2}}{a^2}+\frac{n_{z}^{2}}{a^2}\right)}=\sum_{n_x =1}^{\infty}e^{-\frac{\beta h^2n_{x}^{2}}{8ma^2}}\sum_{n_y =1}^{\infty}e^{-\frac{\beta h^2n_{y}^{2}}{8mb^2}}\sum_{n_z =1}^{\infty}e^{-\frac{\beta h^2n_{z}^{2}}{8mc^2}} \end{equation} Sustituyendo los sumatorios por integrales: \begin{equation} q_{tr}=\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{\beta h^2n_{x}^{2}}{8ma^2}}dn_x \int_{0}^{\infty}e^{-\frac{\beta h^2n_{y}^{2}}{8mb^2}}dn_y\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{\beta h^2n_{z}^{2}}{8mc^2}}dn_z \end{equation} Utilizando la integral: $\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^2}dx=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{1/2}$ \begin{equation} q_{tr}=\frac{1}{2}\left(\frac{8m\pi}{\beta h^2}\right)^{1/2}a \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{8m\pi}{\beta h^2}\right)^{1/2}b \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{8m\pi}{\beta h^2}\right)^{1/2}c \end{equation} Teniendo en cuenta que $\beta =\frac{1}{kBT}$ y $V=abc$, la función de partición traslacional nos queda: \begin{equation} q_{tr}=\left(\frac{2\pi mkT}{h^2}\right)^{3/2}V \end{equation}

Comentarios

el simbolo de sumatorio esta bien para la nx, pero se ha repetido la misma coordenada para los siguientes sumatorios en ny y en nz

Imagen de Germán Fernández

Muchas gracias Dante.