Integración numérica de datos cinéticos. Método de Euler

Solapas principales

Para una reacción de primer orden $aA \rightarrow P$, escribimos, \begin{equation} \frac{d[A]}{dt}=-k_A[A] \end{equation} Esta ecuación diferencial es muy sencilla de resolver, pero, supongamos que desconocemos su solución. El método de Euler consiste en aproximar, para un intervalo pequeño de tiempo, las diferenciales por incrementos. \begin{equation} \frac{\Delta [A]}{\Delta t}=-k_A[A]\;\;\;\; \Rightarrow \Delta [A]=-k_A[A]\Delta t \end{equation} Sustituyendo los incrementos por dos concentraciones próximas en el tiempo $[A]_n$ a tiempo $t$ y $[A]_{n+1}$ a tiempo $t_{n+1}$, nos da: \begin{equation} [A]_{n+1}-[A]_{n}=-k_A(t_{n+1}-t_n) \end{equation} Esta última ecuación representa la recta tangente a la curva de [A] vs t en el punto $[A]_n, t_n$.

Veamos un ejemplo: Calcula [A] para t = 1s, si $[A]_0= 1\; mol/l$ y $k=10^{-3}s^{-1}$, suponemos una cinética de primer orden. Aplicando la ecuación (3). $[A] - 1 = -10^{-3}(1 - 0)$, por tanto $[A] = (1-10^{-3})\; mol/l$ 

Método de Euler modificado (pendiente en el punto medio)

Conocida $[A]_n$ a tiempo $t_n$, permite calcular $[A]_{n+1}$ a tiempo $t_{n+1}$ utilizando la recta tangente que pasa por el punto medio del intervalo. \begin{equation} [A]_{n+1}-[A]_n=-k_A[A]_{n+1/2}(t_{n+1}-t_n) \end{equation} $[A]_{n+1/2}$ se obtiene con la siguiente ecuación: \begin{equation} [A]_{n+1/2}-[A]_n=k_A[A]_n\left(\frac{t_{n+1}-t_n}{2}\right) \end{equation} Con la ecuación (5) se calcula el valor de [A] en el punto medio del intervalo, empleando $t_{n+1/2}$, que es el tiempo a la mitad del intervalo. Una vez calculado $[A]_{n+1/2}$ se sustituye en (4) obteniéndose la concentración $[A]_{n+1}$

Método de Euler mejorado (media de las pendientes

Conocida una concentración inicial $[A]_n$ a tiempo $t_n$, se calcula la concentración $[A]_{n+1}$ a tiempo $t_{n+1}$, empleando una recta que tiene por pendiente la media de las pendientes de las rectas tangentes a la curva [A] vs t en los puntos $[A]_n$ y $[A]_{n+1}$.\\ Las ecuaciones que permiten el cálculo para una cinética de primer orden son las siguientes: \begin{equation} [A]_{n+1}-[A]_{n} = -\frac{1}{2}\left(k_{A}[A]_{n}+k_{A}[A]_{n+1}^{\ast}\right)(t_{n+1}-t_n) \end{equation} $[A]_{n+1}^{\ast}$ se obtiene con la ecuación: \begin{equation} [A]_{n+1}^{\ast}-[A]_{n} = -k_{A}[A]_{n}\left(t_{n+1}-t_{n}\right) \end{equation} Con la ecuación (7) calculamos la concentración de A, a tiempo $t_{n+1}$. Sustituyendo esta concentración en (6) se obtiene $[A]_{n+1}$, dada por la recta que tiene de pendiente la media de las pendientes de las rectas tangentes a la curva en los extremos del intervalo.